Table of Contents

1. A Continuum of Compromise
2. Doing Better Than Schwarz
3. Jensen’s Inequality: An Integral Version
4. A Centered Version of Schwarz’s Inequality
5. Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz Inequality

A Continuum of Compromise

对一个积分 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $，有边界

$ \int^{\infty}_ {-\infty} |f(x)| dx \le 8^{\frac{1}{2}} \left(\int^{\infty}_ {- \infty} | xf(x) |^{2} dx\right)^{\frac{1}{4}} \left(\int^{\infty}_ {- \infty} | f(x) |^{2} dx\right)^{\frac{1}{4}} $

Doing Better Than Schwarz

如果 $ f: [0, \infty) \to [0, \infty) $ 是一个连续非增函数，在 $ (0, \infty) $ 上可积分，则对任何一对参数 $ 0 < \alpha, \beta < \infty $，积分

$ I = \int^{\infty}_ {0} x^{\alpha + \beta} f(x) dx $

满足如下边界

$ I^{2} \le \{ 1 - \left( \frac{\alpha - \beta}{\alpha + \beta + 1} \right)^{2} \} \int^{\infty}_ {0}x^{2 \alpha} f(x)dx \int^{\infty}_ {0} x^{2 \beta} f(x)dx $

Jensen’s Inequality: An Integral Version

对每个区间 $ I \subset \mathbb{R} $ 且每个凸函数 $ \Phi : I \to \mathbb{R} $，有边界

$ \Phi \left( \int_ {D}h(x)w(x)dx \right) \le \int_ {D}\Phi(h(x))w(x)dx $

对每个 $ h: D \to I $ 且每个重量函数 $ w: D \to [0, \infty) $ 使得 $ \int_ {D}w(x)dx = 1 $

A Centered Version of Schwarz’s Inequality

如果 $ w(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} $ 且如果 w 在 $ \mathbb{R} $ 上的积分为 1，则一个合适的可积分的重量平均函数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ 用公式定义如下

$ A(f) = \int^{\infty}_ {- \infty}f(x)w(x)dx $

对函数 f 和 g，有如下边界：

$ \{ A(fg) - A(f)A(g) \}^{2} \le \{ A(f^{2}) - A^{2}(f)\}\{A(g^{2}) - A^{2}(g)\} $

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz Inequality

设 f 和 g 为实函数且在闭区间 [a, b] 上连续，则

$ \left( \int^{b}_ {a}f(t)g(t)dt \right)^{2} \le \int^{b}_ {a}(f(t))^{2}dt \int^{b}_ {a}(g(t))^{2}dt $