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Jensen’s Inequality
假设 $ f: [a, b] \to \mathbb{R} $ 是一个凸函数且假设非负实数 $ p_ {j}, j = 1,2,\ldots, n $ 满足
$ p_ {1} + p_ {2} + \cdots + p_ {n} = 1 $
则对所有 $ x_ {j} \in [a, b], j = 1,2,\ldots, n $ 有
$ f \left(\sum^{n}_ {j=1}p_ {j}x_ {j} \right) \le \sum^{n}_ {j=1}p_ {j}f(x_ {j}) $
Differential Criterion for Convexity
如果 $ f: (a, b) \to \mathbb{R} $ 是两次可微的，则
$ f^{\prime \prime}(x) \ge 0, x \in (a, b) $ 意味着 $ f(\cdot) $ 在 (a, b) 上是凸的
且，同样
$ f^{\prime \prime} > 0, x \in (a, b) $ 则意味着 $ f(\cdot) $ 在 (a, b) 上是严格凸的
Holder’s Defect Formula
如果 $ f:[a,b] \to \mathbb{R} $ 是两次可微的，且我们有边界
$ 0 \le m \le f^{\prime \prime}(x) \le M \qquad \qquad \forall x \in [a, b] $
则对任意实数 $ a \le x_ {1} \le x_ {2} \le \cdots \le x_ {n} \le b $ 且任意非负实数 $ p_ {k}, k = 1,2, \ldots, n, p_ {1} + p_ {2} + \cdots + p_ {n} = 1 $，存在一个实数 $ \mu \in [m, M] $ 有公式：
$ \sum^{n}_ {k=1}p_ {k}f(x_ {k}) - f\left(\sum^{n}_ {k=1}p_ {k}x_ {k}\right) = \frac{1}{4} \mu \sum^{n}_ {j=1}\sum^{n}_ {k=1}p_ {j}p_ {k}(x_ {j} - x_ {k})^{2} $