Extended Euclidean Algorithm

Extended Euclidean Algorithm

欧几里得算法只计算两个整数 a 和 b 的最大公因数，扩展版本还能发现一个方法来用 a 和 b 表示 GCD，比如系数 x 和 y 使得

$ a \times x + b \times y = gcd(a, b) $

注意到通过 Bézout’s identity 我们也可以找到这样的表达式。例如，gcd(55, 80) = 5，因此我们可表达 5 作为一个与 55 和 80 的线性组合：$ 55 \times 3 + 80 \times (-2) = 5 $

一个该问题的更一般化形式在文章 Linear Diophantine Equations 中讨论。它用这个算法构建

算法

在本章节中我们将用 g 表示 a 和 b 的 GCD

对原算法的改变非常简单。如果我们回忆算法，我们可看到算法以 b = 0 和 a = g 结束。对这些参数我们可容易地找到系数， $ g \times 1 + 0 \times 0 = g $

从 (x, y) = (1, 0) 这些系数开始，我们可回溯递归调用。所有我们需要做的是指明系数 x 和 y 在从 (a, b) 到 (b, a mod b) 之间如何改变

让我们假设我们找到了 (b, a mod b) 的系数 $ (x_ {1}, y_ {1}) $:

$ b \times x_ {1} + (a \bmod b) \times y_ {1} = g $

且我们想要找到 (a, b) 的 (x, y) 对：

$ a \times x + b \times y = g $

我们可表达 a mod b 为：

$ a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b $

用 $ (x_ {1}, y_ {1}) $ 的系数等式替代这个表达式：

$ g = b \times x_ {1} + (a \bmod b) \times y_ {1} = b \times x_ {1} + \left( a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b \right) \times y_ {1} $

且整理条目后：

$ g = a \times y_ {1} + b \times \left( x_ {1} - y_ {1} \times \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \right) $

这样我们找到 x 和 y 的值：

$ \left\{\begin{array}{l} x = y_ {1} \\ y = x_ {1} - y_ {1} \times \left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor \end{array}\right. $

C++ 代码实现

int gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }

  int x1, y1;
  int d = gcd(b, a % b, x1, y1);
  x = y1;
  y = x1 - y1 * (a / b);

  return d;
}

这个扩展欧几里得算法的实现对负整数也能产生正确的结果

迭代版本

也可以用迭代的方式写欧几里得算法。因为它避免回调，代码比回调版本要快一些

int gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  x = 1;
  y = 0;
  int x1 = 0, y1 = 1, a1 = a, b1 = b;
  while (b1) {
    int q = a1 / b1;
    tie(x, x1) = make_tuple(x1, x - q * x1);
    tie(y, y1) = make_tuple(y1, y - q * y1);
    tie(a1, b1) = make_tuple(b1, a1 - q * b1);
  }

  return a1;
}

Table of Contents

Extended Euclidean Algorithm

算法

C++ 代码实现

迭代版本