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命题 对每个子群 $ G \subset GL(V) $，集合

$ \operatorname{Tran} V \cdot G = \{t_ {a} \varphi: a \in V, \varphi \in G \} $

是空间V上的一个传递转换群

证明：对 $ a, b \in V, \varphi, \psi \in GL(V) $有

$ (t_ {a} \varphi)(t_ {b} \psi) = t_ {a}(\varphi t_ {b} \varphi^{-1}) \varphi \psi = t_ {a+ \varphi(b)} \varphi \psi \in \operatorname{Tran} V \cdot G $

它有

$ (t_ {a} \varphi)^{-1} = t_ {-\varphi^{-1}(a)} \varphi^{-1} \in \operatorname{Tran} V \cdot G $

因此，$ \operatorname{Tran} V \cdot G $是一个传输群。它是传递的因为它的子群Tran V是传递的

特别地，我们可使G = GL(V)，结果群为

$ GA(V) = \operatorname{Tran} V \cdot GL(V) $

被称为V的完全affine群，且它的元素，（双射）affine转换的。对应的几何被称为affine几何

在 $ V = E^{2} $的情况下，我们获得欧几里得平面的affine几何

命题 欧几里得平面运动的群是群 $ GA(E^{2}) $的一个子群等于 $ \operatorname{Tran} E^{2} \cdot O_ {2} $

证明 首先，观察所有的平行传递和垂直传递是运动。现在选一个运动f。设 a = f(o)。则运动 $ \varphi = t^{-1}_ {a} f $不移动点o且属于群 $ O_ {2} $。因此

$ f = t_ {a}\varphi \in \operatorname{Tran} E^{2} \cdot O_ {2} $

推论 如果图 $ F_ {1}, F_ {2} \subset E^{2} $在欧几里得几何中congruent，它们在affine几何中也congruent

群 $ GA(E^{2}) $比运动群大。一个affine转换不是运动的例子是缩放或沿着轴的收缩。这样，群 $ GA(E^{2}) $范围比运动群大，且在欧几里得几何不congruent但可能在affine几何中congruent。例如，所有圆在affine几何中congruent