Table of Contents
- Bilinear Forms
- Synmmetric Bilinear Forms
- Skew-Symmetric Bilinear Forms
- Groups Preserving Bilinear Forms
Bilinear Forms
定义 设V为域F上的一个向量空间，一个V上的bilinear form是一个函数f，赋值V中每个有序向量对 $ \alpha, \beta $一个F中常量 $ f(\alpha, \beta) $，且满足
$ \begin{equation} f(c\alpha_ {1} + \alpha_ {2}, \beta) = cf(\alpha_ {1}, \beta) + f(\alpha_ {2}, \beta) \end{equation} $
$ \begin{equation} f(\alpha, c\beta_ {1} + \beta_ {2}) = cf(\alpha, \beta_ {1}) + f(\alpha, \beta_ {2}) \end{equation} $
定义 设V为一个有限维向量空间，且设 $ \mathcal{B} = \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $为V的一个有序基，如果f是V上的一个bilinear form，则在有序基 $ \mathcal{B} $上的f的矩阵是 $ n \times n $矩阵A，其元素 $ A_ {i j} = f(\alpha_ {i}, \alpha_ {j}) $，我们将它记为 $ [f]_ {\mathcal{B}} $
定理 1 设V为域F上的一个有限维向量空间，对V的每个有序基 $ \mathcal{B} $，函数对应V上基于有序基 $ \mathcal{B} $的每个bilinear form是在域F上空间L(V, V, F) onto $ n \times n $矩阵空间的一个isomorphism
推论 如果 $ \mathcal{B} = \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $是V的一个有序基，且 $ \mathcal{B}^{ * } = \{ L_ {1}, \ldots, L_ {n} \} $是 $ V^{ * } $的dual basis，则 $ n^{2} $ bilinear forms
$ \begin{equation} f_ {i j}(\alpha, \beta) = L_ {i}(\alpha) L_ {j}(\beta), \qquad 1 \le i \le n, 1 \le j \le n \end{equation} $
形成空间L(V, V, F)的一个基，特别地，L(V, V, F)的维数为 $ n^{2} $
定理 2 设f为有限维向量空间V上的一个bilinear form，设 $ L_ {f} $和 $ R_ {f} $为从V到 $ V^{ * } $的线性转换定义为 $ (L_ {f}\alpha)(\beta) = f(\alpha, \beta) = (R_ {f}\beta)(\alpha) $，则 $ \operatorname{rank}(L_ {f}) = \operatorname{rank}(R_ {f}) $
定义 如果f为有限维向量空间V上的一个bilinear form，f的rank是整数 $ r = \operatorname{rank}(L_ {f}) = \operatorname{rank}(R_ {f}) $
推论 1 一个bilinear form的rank等于该form在任意有序基下矩阵的rank
推论 2 如果f为n维向量空间的一个bilinear form，如下描述相等：
(a) rank(f) = n
(b) 对V中每个非零 $ \alpha $，有V中一个 $ \beta $使得 $ f(\alpha, \beta) \ne 0 $
(c) 对V中每个非零 $ \beta $，有V中一个 $ \alpha $使得 $ f(\alpha, \beta) \ne 0 $
定义 一个向量空间V上的bilinear form f被称为non-degenerate（或non-singular）如果它满足推论2的条件(b)和(c)
Synmmetric Bilinear Forms
定义 设V为域F上的一个向量空间，一个V上的bilinear form是一个函数f，赋值V中每个有序向量对 $ \alpha, \beta $一个F中常量 $ f(\alpha, \beta) $，且满足
$ \begin{equation} f(c\alpha_ {1} + \alpha_ {2}, \beta) = cf(\alpha_ {1}, \beta) + f(\alpha_ {2}, \beta) \end{equation} $
$ \begin{equation} f(\alpha, c\beta_ {1} + \beta_ {2}) = cf(\alpha, \beta_ {1}) + f(\alpha, \beta_ {2}) \end{equation} $
定义 设V为一个有限维向量空间，且设 $ \mathcal{B} = \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $为V的一个有序基，如果f是V上的一个bilinear form，则在有序基 $ \mathcal{B} $上的f的矩阵是 $ n \times n $矩阵A，其元素 $ A_ {i j} = f(\alpha_ {i}, \alpha_ {j}) $，我们将它记为 $ [f]_ {\mathcal{B}} $
定理 1 设V为域F上的一个有限维向量空间，对V的每个有序基 $ \mathcal{B} $，函数对应V上基于有序基 $ \mathcal{B} $的每个bilinear form是在域F上空间L(V, V, F) onto $ n \times n $矩阵空间的一个isomorphism
推论 如果 $ \mathcal{B} = \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $是V的一个有序基，且 $ \mathcal{B}^{ * } = \{ L_ {1}, \ldots, L_ {n} \} $是 $ V^{ * } $的dual basis，则 $ n^{2} $ bilinear forms
$ \begin{equation} f_ {i j}(\alpha, \beta) = L_ {i}(\alpha) L_ {j}(\beta), \qquad 1 \le i \le n, 1 \le j \le n \end{equation} $
形成空间L(V, V, F)的一个基，特别地，L(V, V, F)的维数为 $ n^{2} $
定理 2 设f为有限维向量空间V上的一个bilinear form，设 $ L_ {f} $和 $ R_ {f} $为从V到 $ V^{ * } $的线性转换定义为 $ (L_ {f}\alpha)(\beta) = f(\alpha, \beta) = (R_ {f}\beta)(\alpha) $，则 $ \operatorname{rank}(L_ {f}) = \operatorname{rank}(R_ {f}) $
定义 如果f为有限维向量空间V上的一个bilinear form，f的rank是整数 $ r = \operatorname{rank}(L_ {f}) = \operatorname{rank}(R_ {f}) $
推论 1 一个bilinear form的rank等于该form在任意有序基下矩阵的rank
推论 2 如果f为n维向量空间的一个bilinear form，如下描述相等：
(a) rank(f) = n
(b) 对V中每个非零 $ \alpha $，有V中一个 $ \beta $使得 $ f(\alpha, \beta) \ne 0 $
(c) 对V中每个非零 $ \beta $，有V中一个 $ \alpha $使得 $ f(\alpha, \beta) \ne 0 $
定义 一个向量空间V上的bilinear form f被称为non-degenerate（或non-singular）如果它满足推论2的条件(b)和(c) Synmmetric Bilinear Forms
定义 设f为向量空间V上的一个bilinear form，我们说f是对称的如果 $ f(\alpha, \beta) = f(\beta, \alpha) $对V中所有向量 $ \alpha, \beta $
定理 3 设V为一个特征0的域上的有限维向量空间，且设f为V上的一个对称bilinear form，则有一个V的有序基使得f为一个对角矩阵
推论 设F为复数子域，且设A为F上一个$ n \times n $的对称矩阵，则有一个F上可逆的 $ n \times n $矩阵P使得 $ P^{t}AP $是对角的
定理 4 设V为复数域上一个有限维向量空间，设f为V上一个对称bilinear form其rank为r，则有一个V上的有序基 $ \mathcal{B} = \{ \beta_ {1}, \ldots, \beta_ {n} \} $使得
(i) 在有序基 $ \mathcal{B} $下的f的矩阵是对角的
(ii) $ f(\beta_ {j}, \beta_ {j}) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & j = 1, \ldots, r \\ 0, & j > r \end{array} \right. $
定理 5 设V为实数域上的一个n维向量空间，且设f为V上一个对称bilinear form其rank为r，则有一个V上的有序基 $ \{ \beta_ {1}, \beta_ {2}, \ldots, \beta_ {n} \} $使得f的矩阵是对角的且
$ \begin{equation} f(\beta_ {j}, \beta_ {j}) = \pm 1, \qquad j = 1, \ldots, r \end{equation} $
更进一步，基向量 $ \beta_ {j} $的数 $ f(\beta_ {j}, \beta_ {j}) = 1 $对基的选择是独立的
Skew-Symmetric Bilinear Forms
本节V将作为复数域的子域F上的一个向量空间，一个V上的bilinear form被称为skew-symmetri如果对V中所有向量 $ \alpha, \beta, f(\alpha, \beta) = -f(\beta, \alpha) $
定理 6 设V为复数域的子域上的n维向量空间，且设f为V上一个skew-symmetric bilinear form，则f的rank r是偶数，且如果r = 2k有一个V上的有序基使得f的矩阵为 $ (n - r) \times (n - r) $零矩阵和k个 $ 2 \times 2 $矩阵的拷贝的直和
$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] \end{equation} $
Groups Preserving Bilinear Forms
定理 17 设f为有限维向量空间V上的一个non-degenerate bilinear form，V上保留f的所有线性算子的集合是一个组合操作的群
例子 6 设V为空间 $ R^{n} 或 C^{n} $，设f为belinear form
$ \begin{equation} f(\alpha, \beta) = \sum_ {j = 1}^{n}x_ {j}y_ {j} \end{equation} $
$ \alpha = (x_ {1}, \ldots, x_ {n}), \beta = (y_ {1}, \ldots, y_ {n}) $。群保留f被称为n维（实数或复数）正交群。因为f的矩阵在标准基上是I，该群包含矩阵M满足 $ M^{t}M = I $。这样的一个矩阵M被称为 $ n \times n $（实数或复数）正交矩阵。这两个 $ n \times n $正交群通常记为 O(n, R)和O(n, C)。当然，正交群也是保留二项式form的群
$ \begin{equation} q(x_ {1}, \ldots, x_ {n}) = x_ {1}^{2} + \cdots + x_ {n}^{2} \end{equation} $
例子 7 设f为 $ R^{n} $上的对称bilinear form的二次方 form:
$ \begin{equation} q(x_ {1}, \ldots, x_ {n}) = \sum_ {j=1}^{p} x_ {j}^{2} - \sum_ {j = p + 1}^{n}x_ {j}^{2} \end{equation} $
则f是non-degenerate且有signature 2p - n，保留这种类型form的矩阵的群被称为伪正交群。当p = n时是正交群O(n, R)，对每个n + 1的值 $ p = 0, 1, 2, \ldots, n $，我们获得不同的bilinear forms f；然而，对p = k且p = n - k forms其form互相为其的负且因此有相同的群。这样，当n为奇数，我们有(n + 1) / 2个 $ n \times n $矩阵的伪正交群，且当n为偶数时，我们有(n + 2) / 2个这样的群
定理 8 设V为一个复数域上n维向量空间，且设f为V上一个non-degenerate symmetric bilinear form，则保留f的群跟复数正交群O(n, C) isomorphic
定理 9 设V为实数域上的一个n维向量空间，且设f为V上的一个non-degenerate对称bilinear form，则保留f的群跟一个 $ n \times n $伪正交群是isomorphic的
例子 8 设f为 $ R^{4} $上的一个对称bilinear form的二次方form
$ \begin{equation} q(x, y, z, t) = t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} \end{equation} $
一个 $ R^{4} $上的线性算子T保留这个bilinear form被称为Lorentz转换，且保留f的群被称为Lorentz群，我们将给出一个方法描述某些Lorentz变换
设H为实数向量空间所有 $ 2 \times 2 $复数矩阵A是Hermitian的，$ A = A^{ * } $，它容易检查为
$ \begin{equation} \Phi(x, y, z, t) = \left[ \begin{array}{ll} t + x & y + iz \\ y - iz & t - x \end{array} \right] \end{equation} $
定义了一个 $ R^{4} $ onto 空间H的isomorphism $ \Phi $，在这个isomorphism下，二次方form q为行列式方法，及
$ \begin{equation} q(x, y, z, t) = \operatorname{det} \left[ \begin{array}{ll} t + x & y + iz \\ y - iz & t - x \end{array} \right] \end{equation} $
或
$ \begin{equation} q(\alpha) = \operatorname{det} \Phi(\alpha) \end{equation} $
这个建议我们可能通过学习H上保留行列式的线性算子来学习$ R^{4} $上Lorentz转换
设M为任意复数 $ 2 \times 2 $矩阵且对一个Hermitian矩阵A定义
$ \begin{equation} U_ {m}(A) = MAM^{ * } \end{equation} $
现在 $ MAM^{ * } $也是Hermitian的，容易看到 $ U_ {M} $是H上一个（实数）线性算子。因为 $ M^{ * } $的行列式是M的共轭复数的行列式，我们看到
$ \begin{equation} \operatorname{det}[U_ {M}(A)] = | \operatorname{det} M |^{2} \operatorname{det}A \end{equation} $
当det M的绝对值为1时 $ U_ {M} $保留行列式
这样现在让我们选择任意 $ 2 \times 2 $复数矩阵M，其 $ | \operatorname{det} M | = 1 $，则 $ U_ {M} $是H上一个线性算子保留行列式，定义
$ \begin{equation} T_ {M} = \Phi^{-1}U_ {M}\Phi \end{equation} $
因为 $ Phi $是一个isomorphism，$ T_ {M} $是 $ R^{4} $上一个线性算子。$ T_ {M} $也是一个Lorentz变换
$ \begin{equation} \begin{aligned} q(T_ {M}\alpha) &= q(\Phi^{-1}U_ {M}\Phi\alpha) \\ &= \operatorname{det}(\Phi\Phi^{-1}U_ {M}\Phi\alpha) \\ &= \operatorname{det}(U_ {M}\Phi\alpha) \\ &= \operatorname{det}(\Phi\alpha) \\ &= q(\alpha) \end{aligned} \end{equation} $
所以 $ T_ {M} $保留二次方form q
通过使用特殊的 $ 2 \times 2 $矩阵M，可以使用如上的方法计算特殊的Lorentz变换，有如下两个评论，其不难验证：
(1) 如果 $ M_ {1} 和 M_ {2} $是复数可逆 $ 2 \times 2 $矩阵，则 $ U_ {M_ {1}} = U_ {M_ {2}} $当且仅当 $ M_ {2} $是 $ M_ {1} $的常量倍数。这样， 所有上面展现的Lorentz变换可从unimodular矩阵M获得，即从矩阵M满足det M = 1。如果 $ M_ {1} $ 和 $ M_ {2} $为unimodular矩阵使得 $ M_ {1} \ne M_ {2} 且 M_ {1} \ne - M_ {2} $，则 $ T_ {M_ {1}} \ne T_ {M_ {2}} $
(2) 不是每个Lorentz变换都可通过上述方法获得