Table of Contents
- Forms on Inner Product Spaces
- Positive Forms
- More on Forms
- Spectral Theory
- Further Properties of Normal Operators
Forms on Inner Product Spaces
定义 一个在实数或复数向量空间V上的（sesqui-linear）form是一个 $ V \times V $的函数使得
(a) $ f(c\alpha + \beta, \gamma) = cf(\alpha, \gamma) + f(\beta, \gamma) $
(b) $ f(\alpha, c\beta + \gamma) = \bar{c}f(\alpha, \beta) + f(\alpha, \gamma) $
对所有V中的 $ \alpha, \beta, \gamma $及所有常量c
当为实数时，$ f(\alpha, \beta) $对每个参数该函数都是线性的，即f是一个bilinear form
定理 1 设V为一个有限维内积空间且f为V上一个form，则V上有唯一一个线性算子T使得
$ \begin{equation} f(\alpha, \beta) = (T\alpha | \beta) \end{equation} $
对V中所有 $ \alpha, \beta $，且映射 $ f \to T $是forms空间在L(V, V)上的同构
推论 等式 $ (f | g) = \operatorname{tr}(T_ {f}T_ {g}^{ * }) $定义了一个在forms空间上的内积有属性
$ \begin{equation} (f | g) = \sum_ {j,k}f(\alpha_ {k}, \alpha_ {j})\overline{g(\alpha_ {k}, \alpha_ {j})} \end{equation} $
对V上每个标准正交基 $ \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $
定义 如果f是一个form且 $ \mathcal{B} = \{\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_{n} \} $是V的一个任意有序基，矩阵A $ A_ {j k} = f(\alpha_ {k}, \alpha_ {j}) $被称为在有序基 $ \mathcal{B} $上f的矩阵
定理 2 设f是在有限维复数内积空间V上的一个form，则有一个V的标准正交基使得f的矩阵是上三角的
定义 一个在实数或复数向量空间V上的form f被称为Hermitian如果
$ \begin{equation} f(\alpha, \beta) = \overline{f(\beta, \alpha)} \end{equation} $
对V中所有 $ \alpha, \beta $
定理 3 设V为一个复数向量空间且f是V上一个form使得 $ f(\alpha, \alpha) $对每个 $ \alpha $是实数，则f是Hermitian的
推论 设T为复数有限维内积空间V上的一个线性算子，则T是self-adjoint当且仅当 $ (T \alpha | \alpha) $对V中每个 $ \alpha $是实数
定理 4(Principal Axis Theorem) 对有限维内积空间V上的每个Hermitian form f有一个V上的标准正交基使得f为一个实数元素的对角矩阵
推论 使用上述条件，有
$ \begin{equation} f(\sum_ {j}x_ {j}\alpha_ {j}, \sum_ {k}y_ {k}\alpha_ {k}) = \sum_ {j}c_ {j}x_ {j}\bar{y}_ {j} \end{equation} $
Positive Forms
定义 一个在实数或复数向量空间V上的form f是非负的如果它是Hermitian且 $ f(\alpha, \alpha) \ge 0 $对V中每个 $ \alpha $。form f是正的如果f是Hermitian且 $ f(\alpha, \alpha) > 0 $对所有 $ \alpha \ne 0 $
定理 5 设F为实数域或复数域，设A为F上 $ n \times n $矩阵，函数g被定义为
$ \begin{equation} f(X, Y) = Y^{ * }AX \end{equation} $
是在空间 $ F^{ n \times 1 } $上的正form当且仅当存在一个可逆 $ n \times n $矩阵P，元素在F上，使得 $ A = P^{ * }P $
定义 设A为域F上的 $ n \times n $矩阵，A的principal minors为常量 $ \Delta_ {k}(A) $定义为
$ \begin{equation} \Delta_ {k}(A) = \operatorname{det} \left[ \begin{array}{ccc} A_ {11} & \cdots & A_ {1k} \\ \vdots & & \vdots \\ A_ {k1} & \cdots & A_ {kk} \end{array} \right], \qquad 1 \le k \le n \end{equation} $
引理 设A为域F上的可逆 $ n \times n $矩阵，下面两个叙述等价
(a) 有一个上三角矩阵P，$ P_ {k k} = 1 (1 \le k \le n) $使得矩阵B = AP是下三角的
(b) A的principal minors都不为0
定理 6 设f为有限维向量空间上的一个form且设A为有序基 $ \mathcal{ B} $下f的矩阵，则f是一个正form当且仅当 $ A = A^{ * } $且A的principal minors都是正的
如果A是带复数元素的 $ n \times n $矩阵且如果A满足 $ \forall 实数X \ne 0, X^{t}AX > 0 $，我们称A为一个正矩阵
定义 一个有限维内积空间V上的线性算子T是非负的如果 $ T = T^{ * } 且 (T\alpha | \alpha) \ge 0 $，对V中所有 $ \alpha $。一个正的线性算子是使得 $ T = T^{ * } 且 (T\alpha | \alpha) > 0 $，对所有 $ \alpha \ne 0 $
如果A是复数域上的 $ n \times n $矩阵，如下描述等价：
(1) A是正的，例如，$ \sum_ {j}\sum_ {k}A_ {k j}x_ {j}\bar{x}_ {k} > 0, x_ {1}, \ldots, x_ {n} $是复数，不全为0
(2) $ (X | Y) = Y^{ * }AX $是 $ n \times 1 $复数矩阵空间上的内积
(3) 对于在 $ n \times 1 $矩阵上的标准内积 $ (X | Y) = Y^{ * } X $，线性算子 $ X \to AX $是正的
(4) 对C上某个可逆 $ n \times n $矩阵P有 $ A = P^{ * }P $
(5) $ A = A^{ * } $，且A的principal minors是正的
如果A中每个元素都是实数，以下是等价的
(6) $ A = A^{t} 且 \sum_ {j}\sum_ {k}A_ {k j}x_ {j}x_ {k} > 0, x_ {1}, \ldots, x_ {n} $是实数且不全为0
(7) $ (X | Y) = Y^{t}AX $是 $ n \times 1 $实数矩阵空间上的内积
(8) 对于 $ n \times 1 $实数矩阵上的标准内积 $ (X | Y) = Y^{t}X $，线性算子 $ X \to AX $是正的
(9) 有一个实数元素的可逆 $ n \times n $矩阵P，使得 $ A = P^{t}P $
More on Forms
定理 7 设f为实数或复数向量空间V上的一个form且 $ \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} \} $是V的有限维子空间W上的一个基，设M为 $ r \times r $矩阵，其元素为
$ \begin{equation} M_ {j k} = f(\alpha_ {k}, \alpha_ {j}) \end{equation} $
且W’为V中所有向量 $ \beta $的集合使得 $ f(\alpha, \beta) = 0 $对W中所有 $ \alpha $。则W’是V的一个子空间，且 $ W \cap W’ = \{ 0 \} $当且仅当M是可逆的，这种情况下，V = W + W’
定理 8 设f为实数或复数向量空间V上的一个form且A为f在V的有序基 $ \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $下的矩阵。假设A的principal minors都不为0，则有唯一的一个上三角矩阵P，$ P_ {k k} = 1(1 \le k \le n) $使得
$ \begin{equation} P^{ * } AP \end{equation} $
是上三角的
Spectral Theory
定理 9(Spectral Theorem) 设T为有限维复数内积空间V上的normal算子或有限维实数内积空间V上的self-adjoint算子，设 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $为T的不同的特征值，设 $ W_ {j} $为 $ c_ {j} $对应的特征空间且 $ E_ {j} $为V在 $ W_ {j} $上的正交映射，则 $ W_ {j} $正交 $ W_ {i} $当 $ i \ne j $，V是 $ W_ {1}, \ldots, W_ {k} $的直和，且
$ \begin{equation} T = c_ {1}E_ {1} + \cdots + c_ {k}E_ {k} \end{equation} $
推论 如果 $ e_ {j} = \prod_ {i \ne j}\left(\frac{x - c_ {i}}{c_ {j} - c_ {i}} \right), 则 E_ {j} = e_ {j}(T), 1 \le j \le k $
定义 设T为有限维内积空间上的一个可对角化normal算子且
$ \begin{equation} T = \sum_ {j = 1}^{k} c_ {j}E_ {j} \end{equation} $
是它的spectral resolution。假设f是一个函数定义域包含T的spectrum在常量域上有值，则线性算子f(T)被定义为如下等式
$ \begin{equation} f(T) = \sum_ {j = 1}^{k} f(c_ {j})E_ {j} \end{equation} $
定理 10 设T为有限维内积空间上的一个可对角化normal算子，有Spectrum S，假设f是一个函数定义域包含S在常量域上有值，则f(T)是一个可对角化normal算子有spectrum f(S)。如果U是一个V到V’的unitary映射且 $ T’ = UTU^{-1} $，则S是T’的spectrum且
$ \begin{equation} f(T’) = Uf(T)U^{-1} \end{equation} $
推论 在定理10的假设下，假设在有序基 $ \mathcal{B} = \{\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $下T表达为对角矩阵D，元素为 $ d_ {1}, \ldots, d_ {n} $，则在基 $ \mathcal{B} $下，f(T)表达为对角矩阵f(D)，元素为 $ f(d_ {1}), \ldots, f(d_ {n}) $。如果 $ \mathcal{B}’ = \{\alpha_ {1}’, \ldots, \alpha_ {n}’ \} $是任意其他有序基且P矩阵使得
$ \begin{equation} \alpha_ {j}’ = \sum_ {i}P_ {i j}\alpha_ {i} \end{equation} $
则 $ P^{-1}f(D)P $是基 $ \mathcal{B}’ $下f(T)的矩阵
定理 11 设A为normal矩阵且 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $为 $ \operatorname{det}(xI - A) $不同的复数根，设
$ \begin{equation} e_ {i} = \prod_ {j \ne i}\left(\frac{x - c_ {j}}{c_ {i} - c_ {j}}\right) \end{equation} $
且 $ E_ {i} = e_ {i}(A)(1 \le k) $。则 $ E_ {i}E_ {j} = 0, i \ne j, E_ {i}^{2} = E_ {i}, E_ {i}^{ * } = E_ {i} $，且
$ \begin{equation} I = E_ {1} + \cdots + E_ {k} \end{equation} $
如果f是一个复数函数其定义域包含 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $，则
$ \begin{equation} f(A) = f(c_ {1})E_ {1} + \cdots + f(c_ {k})E_ {k}; \end{equation} $
特别地， $ A = c_ {1}E_ {1} + \cdots + c_ {k}E_ {k} $
定理 12 设T为有限维内积空间V上的一个可对角化normal算子，则T是一个self-adjoint，非负或unitary对应T的每个特征值为实数的，非负的或绝对值为1
定理 13 设V为一个有限维内积空间且T为V上一个非负算子，则T有一个唯一的非负平方根，在V上有唯一一个非负算子N使得 $ N^{2} = T $
定理 14 设V为一个有限维内积空间且设T为V上任意线性算子，则存在V上一个unitary算子U和V上一个非负算子N使得T = UN，非负算子是唯一的，如果T可逆，算子U也是唯一的
定义 设 $ \mathcal{F} $为内积空间V上的一族算子，$ \mathcal{F} $上的有域F上常量值的函数r被称为 $ \mathcal{F} $的一个根如果在V中有一个非零 $ \alpha $使得
$ \begin{equation} T \alpha = r(T) \alpha \end{equation} $
对 $ \mathcal{F} $上所有T。对任意从 $ \mathcal{F} $到F的函数，设V(r)为V中所有 $ \alpha $的集合使得对 $ \mathcal{F} $中每个T，有 $ T \alpha = r(T)\alpha $
则V(r)是V的一个子空间，且r是 $ \mathcal{F} $的一个根当且仅当 $ V(r) \ne \{0\} $。V(r)中每个非零 $ \alpha $同时也是 $ \mathcal{F} $中每个T的一个特性向量
定理 15 设 $ \mathcal{F} $为在有限维内积空间V上的一族可交换可对角化normal算子，则 $ \mathcal{F} $只有有限个根。如果 $ r_ {1}, \ldots, r_ {k} $为 $ \mathcal{F} $的不同根，则
(i) $ V(r_ {i}) $正交 $ V(r_ {j}), i \ne j $，且
(ii) $ V = V(r_ {1}) \oplus \cdots \oplus V(r_ {k}) $
推论 在上面定理的假设下，设 $ P_ {j} $为V在 $ V(r_ {j}) $上的正交映射，$ (1 \ne j \ne k) $，则 $ P_ {i}P_ {j} = 0, i \ne j $，
$ \begin{equation} I = P_ {1} + \cdots + P_ {k} \end{equation} $
且 $ \mathcal{F} $中每个T可写成如下形式
$ \begin{equation} T = \sum_ {j}r_ {j} (T)P_ {j} \end{equation} $
定义 正交映射族 $ \{P_ {1}, \ldots, P_ {k} \} $被称为由 $ \mathcal{F} $决定的resolution of identity，且上式为在该族中T的spectral resolution
定义 一个在内积空间V上的算子的self-adjoint代数是一个L(V, V)的线性子代数，其包含每个成员的adjoint
定义 如果 $ \mathcal{F} $是有限维内积空间上的一族线性算子，由 $ \mathcal{F} $产生的self-adjoint代数是包含 $ \mathcal{F} $的最小self-adjoint代数
定理 16 设 $ \mathcal{F} $是有限维内积空间V上的可对角化normal算子的交换族，且设 $ \mathcal{G} $为由 $ \mathcal{F} $产生的self-adjoint代数和identity算子，设 $ \{P_ {1}, \ldots, P_ {k} \} $为由 $ \mathcal{F} $定义的resolution of the identity，则 $ \mathcal{G} $为V上所有算子的如下形式的集合
$ \begin{equation} T = \sum_ {j=1}^{k} c_ {j}P_ {j} \end{equation} $
$ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $为任意常量
推论 在上述定理假设下，在 $ \mathcal{G} $中有一个算子T使得 $ \mathcal{G} $中的每个成员是T的多项式
Further Properties of Normal Operators
定理 17 设T为在有限维内积空间V中的一个normal算子，设p为T的minimal polynomial且 $ p_ {1}, \cdots, p_ {k} $为它的不同的monic质因子，则每个 $ p_ {j} $在p中出现次数为1且degree为1或2，假设 $ W_ {j} $是 $ p_ {j}(T) $的null space，则
(i) $ W_ {j} $正交 $ W_ {i}, i \ne j $
(ii) $ V = W_ {1} \oplus \cdots \oplus W_ {k} $
(iii) $ W_ {j} $在T下不变，且 $ p_ {j} $是T限制在 $ W_ {j} $下的minimal polynomial
(iv) 对每个j，有一个系数为常量的polynomial $ e_ {j} $使得 $ e_ {j}(T) $是V到 $ W_ {j} $的正交映射
引理 1 设N为内积空间W上的normal算子，则N的null space它的范围的正交补
引理 2 如果N是一个normal算子且 $ \alpha $是一个向量使得 $ N^{2}\alpha = 0 $，则 $ N\alpha = 0 $
引理 3 设T为一个normal算子且f为系数为常量的任意polynomial，则f(T)也是normal的
引理 4 设T为一个normal算子且f、g为系数为常数的互质polynomials，假设 $ \alpha, \beta $为向量使得 $ f(T)\alpha = 0, g(T)\beta = 0 $，则 $ (\alpha | \beta) = 0 $
定义 我们称子空间 $ W_ {j} (1 \le j \le k) $为V在T之下的主部分
推论 设T为有限维复数内积空间V上的normal算子且 $ W_ {1}, \ldots, W_ {k} $为V在T之下的主部分，假设W是V的一个子空间在T下不变，则
$ \begin{equation} W = \sum_ {j} W \cap W_ {j} \end{equation} $
定理 18 设T为有限维实数内积空间V上的一个normal算子且p是它的minimal polynomial，假设
$ \begin{equation} p = (x - a)^{2} + b^2 \end{equation} $
a、b为实数且 $ b \ne 0 $，则有一个整数s > 0使得 $ p^{s} $是T的特征polynomial，且存在V的子空间 $ V_ {1}, \ldots, V_ {s} $使得
(i) $ V_ {j} $正交 $ V_ {i}, i \ne j $
(ii) $ V = V_ {1} \oplus \cdots \oplus V_ {s} $
(iii) 每个 $ V_ {j} $有一个标准正交基 $ \{ \alpha_ {j}, \beta_ {j} \} $及属性
$ \begin{equation} T \alpha_ {j} = a \alpha_ {j} + b \beta_ {j} \end{equation} $
$ \begin{equation} T \beta_ {j} = -b \alpha_ {j} + a \beta_ {j} \end{equation} $
引理 设V为一个实数内积空间且S为V上一个normal算子使得 $ S^{2} + I = 0 $，设 $ \alpha $为V中任意向量且 $ \beta = S \alpha $，则
$ \begin{equation} S^{ * } \alpha = - \beta \end{equation} $
$ \begin{equation} S^{ * } \beta = \alpha \end{equation} $
$ (\alpha | \beta) = 0 且 || \alpha || = || \beta || $
推论 在上述定理条件下，T是可逆的，且
$ \begin{equation} T^{ * } = (a^{2} + b^{2})T^{-1} \end{equation} $
定理 19 设T为在有限维内积空间V中的一个normal算子，则任意可与T交换的线性算子也能与 $ T^{ * } $交换，更进一步，在T下不变的每个子空间也在$ T^{ * } $下不变
定理 20 设T为有限维内积空间V上的一个normal线性算子（$ \operatorname{dim} V \ge 1 $），则V中存在r个非零向量 $ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} $对应T-annihilators $ e_ {1}, \ldots, e_ {r} $使得
(i) $ V = Z(\alpha_ {1}; T) \oplus \cdots \oplus Z(\alpha_ {r}; T) $
(ii) 如果 $ 1 \le k \le r - 1 $，则 $ e_ {k+1} $整除 $ e_ {k} $
(iii) $ Z(\alpha_ {j}; T) $正交 $ Z(\alpha_ {k}; T), j \ne k $，更进一步，整数r和annihilators $ e_ {1}, \ldots, e_ {r} $由条件(i)和(ii)唯一决定且没有 $ \alpha_ {k} $为0
推论 如果A是一个normal矩阵，其元素为实数（复数），则有一个实的正交（unitary）矩阵P使得 $ P^{-1}AP $是rational cononical form
定义 设V和V’为相同域上的内积空间，一个线性转换
$ \begin{equation} U: V \to V’ \end{equation} $
被称为unitary转换如果它映射V onto V’且保留内积，如果T是V上的一个线性算子且T’是V’上的一个线性算子，则T unitarily equivelant to T’如果存在从V onto V’的unitary转换U使得
$ \begin{equation} UTU^{-1} = T’ \end{equation} $
引理 设V和V’为相同域上的有限维内积空间，设T为V上的一个线性算子且T’为V’上的一个线性算子，则T unitarily equivalent to T’当且仅当有一个V的标准正交基 $ \mathcal{B} $和V’的标准正交基 $ \mathcal{B}’ $使得
$ \begin{equation} [T]_ {\mathcal{B}} = [T’]_ {\mathcal{B}’} \end{equation} $
定理 21 设V和V’为相同域上的有限维内积空间，假设T为V上的一个normal算子且T’为V’上的normal算子，则T unitarily equivalent to T’当且仅当T和T’有相同的特征polynomial