Table of Contents
General Topology
Metric Spaces
定义 一个度量空间是一个集合X及一个函数
$ \begin{equation} dist: X \times X \to R \end{equation} $
称为一个度量，使得如下三个规则满足：
(1) （正定性） $ dist\left(x, y\right) \ge 0, 当等号成立时 $，x = y
(2) （对称性） dist(x, y) = dist(y, x)；且
(3) （三角不等式） $ dist\left(x, z\right) \le dist\left(x, y\right) + dist\left(y, z\right) $
在度量空间X中我们定义 $ \epsilon $球， $ \epsilon > 0 $，对于一个点 $ x \in X $ 有
$ \begin{equation} B_ {\epsilon}\left(x\right) = \{ y \in X | dist\left(x, y\right) < \epsilon \} \end{equation} $
一个子集 $ U \subset X $被称为是开的，如果对每个点 $ x \in U $，有一个 $ \epsilon $球把x在U中完全包含。一个子集被称为闭的，如果它的补是开的。
命题 一个函数 $ f: X \to Y $在度量空间中是连续的 $ \Leftrightarrow f^{-1}\left(U\right) $ 对每个Y中的开子集U在X中是开的
证明：如果f是连续的且 $ U \subset Y $是开的且 $ f\left(x\right) \in U $，则有一个 $ \epsilon > 0 使得 B_ {\epsilon} \left(f\left(x\right)\right) \subset U $。因为连续性，则有一个 $ \delta > 0 $使得f映射x的 $ \delta $-球到 $ B_ {\epsilon}\left(f\left(x\right)\right) $。这意味着 $ B_ {\delta}\left(x\right) \subset f^{-1}\left(U\right) $。这意味着 $ f^{-1}\left(U\right) $是开的
相反地，假设f(x) = y且给定 $ \epsilon > 0 $。通过假设，$ f^{-1}\left(B_ {\epsilon}\left(y\right)\right) $是开的且含有x。因此，通过开集的定义，有一个 $ \delta > 0使得 B_ {\delta}\left(x\right) \subset f^{-1}\left(B_ {\epsilon}\left(y\right)\right) $。如果 $ dist\left(x, x’\right) < \delta 则 f\left(x’\right) \in B_ {\epsilon}\left(y\right) $，且这样 $ dist\left(f\left(x\right), f\left(x’\right)\right) < \epsilon $，即通过 $ \epsilon - \delta $语言证明了连续性
其他的度量有：
$ \begin{equation} dist_ {2}\left(x, y\right) = \sum_ {i=1}^{n} | x_ {i} - y_ {i} | \end{equation} $
$ \begin{equation} dist_ {3}\left(x, y\right) = max\left( | x_ {i} - y_ {i} | \right) \end{equation} $
命题 如果 $ dist_ {1} 和 dist_ {2} $是相同集合X上的度量满足假设，对任意点 $ x \in X 和 \epsilon > 0 有一个 \delta > 0 $使得
$ \begin{equation} dist_ {1}\left(x, y\right) < \delta \Rightarrow dist_ {2}\left(x, y\right) < \epsilon \end{equation} $
$ \begin{equation} dist_ {2}\left(x, y\right) < \delta \Rightarrow dist_ {1}\left(x, y\right) < \epsilon \end{equation} $
则这些度量在X上定义了相同的开集
Topological Spaces
定义 一个拓扑空间是一个集合X及X的子集合称为开集使得：
(1) 两个开集的交集是开的
(2) 任意开集的并是开的，且
(3) 空集 $ \varnothing $ 和整个空间X是开的
拓扑空间比度量空间更一般化且它们和度量空间的不同的范围比度量空间和欧几里得空间的子空间要广。例如，可能谈到度量空间中序列点的收敛跟实数序列差别很小。函数的连续性在度量空集中可被描述为序列的收敛。也可以谈论序列的收敛在一般的拓扑空间但不再适合描述连续性。这样小心地练习一般拓扑空集理论是有必要的。
拓扑空间比度量空间更一般化且它们和度量空间的不同的范围比度量空间和欧几里得空间的子空间要广。例如，可能谈到度量空间中序列点的收敛跟实数序列差别很小。函数的连续性在度量空集中可被描述为序列的收敛。也可以谈论序列的收敛在一般的拓扑空间但不再适合描述连续性。这样小心地练习一般拓扑空集理论是有必要的。
假设X和Y是拓扑空间且 $ f: X \to Y $是一个函数，则f被称为连续的如果 $ f^{-1}\left(U\right) $对每个开集 $ U \subset Y $是开的
因为闭集为开集的补且反向映射保留补集（例如，$ f^{-1}\left(Y - B\right) = X - f^{-1}\left(B\right) $），则一个函数 $ f: X \to Y $是连续的 $ \Leftrightarrow f^{-1}\left(F\right) $对每个闭集 $ F \subset Y $也是闭的
定义 如果X是一个拓扑空间且 $ x \in X $则一个集合N被称为在X中的x的邻居关系如果有一个开集 $ U \subset N, x \in U $
注意邻居关系不需要是一个开集，虽然通常认为邻居关系是“小”的，它不需要：整个空间X是它的每个点的邻居关系
注意X中x的任意两个邻居关系的交集是x的邻居关系
定义 如果X是一个拓扑空间且 $ x \in X $则一个包含x的X子集合的集合 $ B_ {x} $被称为X中在x点的邻居关系基础如果X中x的每个邻居关系包含 $ B_ {x} $的一些元素且 $ B_ {x} $的每个元素是x的一个邻居关系
邻居关系有时方便证明函数是连续的
定义 一个函数 $ f : X \to Y $在拓扑空间中被称为在x点连续，$ x \in X $，如果，给定Y中任意f(x)的邻居关系N，有一个X中x的邻居关系M使得 $ f(M) \in N $
因为 $ f(f^{-1}(N)) \in N $，这如同说 $ f^{-1}(N) $是x的一个邻居关系，对每个f(x)的邻居关系N。明显地，这只需要检查N属于f(x)的一些邻居关系
命题 一个函数 $ f: X \to Y $在拓扑空间中是连续的 $ \Leftrightarrow $ 在每个 $ x \in X $的点它都是连续的
证明：假设f是连续的，则 $ f^{-1}(U) $是开的对每个开集 $ U \in Y $。设N是Y中f(x)的一个邻居关系且设U为一个开集使得 $ f(x) \in U \subset N $被邻居关系的定义保障。则 $ x \in f^{-1}(U) \subset f^{-1}(N) 且 f^{-1}(U) $是开的。它使得 $ f^{-1}(N) $ 是x的一个邻居关系，则f在x点连续
相反地，假设f在每个点连续且设 $ U \subset Y $为一个开集，对任意 $ x \in f^{-1}(U)，f^{-1}(U) $是x的一个邻居关系。则存在X中的一个开集 $ V_ {x}, x \in V_ {x} \subset f^{-1}(U) $。因此 $ f^{-1}(U) $是x在 $ f^{-1}(U) $范围上的集合 $ V_ {x} $的并，因为任意开集集合的并是开的，则 $ f^{-1}(U) $是开的。但U是Y中任意开集合且因此f是连续的
定义 一个在两个拓扑空间上的函数 $ f : X \to Y $被称为一个homeomorphism如果 $ f^{-1}: Y \to X $存在（f是一一对应且onto的）且f和 $ f^{-1} $都是连续的。记号 $ X \approx Y $表示X与Y是homoemorphic的
定义 如果X是一个拓扑空间且 $ \mathbf{B} $是X的子集的集合，则 $ \mathbf{B} $被称为X拓扑的一个基如果开集是 $ \mathbf{B} $的成员的并（特别地， $ \mathbf{B} $的成员是开的）。一个X的子集的集合 $ \mathbf{S} $被称为X拓扑的子基如果集合 $ \mathbf{S} $的成员的有限交的集合 $ \mathbf{B} $是一个基
注意任意集合X的子集的任意集合 $ \mathbf{S} $是X上某些拓扑的子基，即开集的拓扑为 $ \mathbf{S} $的成员的有限交的任意并（空集和全集X通常为集合的空集合的交是全集且集合的空集合的并是空集）。这样，为定义拓扑，它充分说明某些集合的集合是一个子基，该结果的拓扑为称为被这个子基生成的拓扑
在测量空间中 $ \epsilon- $球的集合，对所有 $ \epsilon > 0 $，是一个基，所以是$ \epsilon- $球的集合，$ \epsilon = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots $
这是拓扑空间的一些例子：
- (Trivial topology) 任意集合X只有空集和全集是开的
- （离散拓扑）任意集合X，所有子集是开的
- 任意集合X，其开集为那些其补为有限的X的子集，及空集（即闭集为有限的集合与X本身）
- $ X = \omega \cup \{ \omega \} $，开集为 $ \omega $所有子集及有限集的补（这里，$ \omega $记为自然数集合）
- 设X为任意偏序集，对 $ \alpha \in X $考虑单边间隔 $ \{ \beta \in X | \alpha < \beta \} 和 \{ \beta \in X | \alpha > \beta \} $。X上的“顺序拓扑”是由这些间隔产生的拓扑。“强顺序拓扑“由这些间隔及有限集合的补产生的拓扑
- 设 $ X = I \times I $, I 是单位间隔[0, 1]，给定“字典序”，例如，$ (x,y) < (s,t) \leftrightarrow x < s $ 或 (x = s且y < t)。设X对这个序有顺序拓扑
- 设X实数线及被半开间隔[x, y)产生的拓扑，这被称为半开间隔拓扑
- 设 $ X = \Omega \cup \{ \Omega \} $为序数集合包含至少不可数序 $ \Omega $；见定理 B.28。记它为顺序拓扑
定义 一个拓扑空间被称为first countable如果每个点有一个可数邻居基
定义 一个拓扑空间被称为second countable如果它的拓扑有一个可数基
注意所有的度量空间是first countable的，一些度量空间不是second countable，例如，空间包含任意不可数集合其度量 dist(x, y) = 1如果 $ x \ne y $，且dist(x, x) = 0（离散拓扑）
欧几里得空间是second countable因为 $ \epsilon $-球，$ \epsilon $有理数，所有有理数坐标的点容易看到是一个基
定义 一个序列函数 $ f_ {1}, f_ {2}, \ldots $从一个拓扑空间X到度量空间Y被称为统一收敛到一个函数：$ f: X \to Y $，如果对每个 $ \epsilon > 0 $，有一个数n使得 $ i > n \Rightarrow dist(f_ {i}(x), f(x)) < \epsilon $对所有 $ x \in X $
定理 如果一个连续函数序列 $ f_ {1}, f_ {2}, \ldots $从一个拓扑空间X到度量空间Y统一收敛到一个函数 $ f: X \to Y $，则f是连续的
定义 一个函数 $ f: X \to Y $在拓扑空间之间被称为开的如果f(U)在Y中是开的对所有开集 $ U \subset X $，它被称为闭的如果f(C)在Y中是闭的对所有闭集 $ C \subset X $
定义 如果X是一个集合且一些条件给定在X的子集上，其对任意特殊子集可能或不能保持，则如果有一个拓扑T其开集满足条件，且使得对任意拓扑 $ T’ $，其开集满足条件，则T开集也是$ T’ $开集（例如，$ T \subset T’ $），则T被称为最小（或最弱或最粗的）拓扑满足条件。如果对任意拓扑 $ T’ $其开集满足条件，任意 $ T’ $开集也是开的，则T被称为最大（最强或最好）拓扑满足条件
术语弱和强是很老的术语，然而，它们用在一些地方表示在一般拓扑中相反的意思。因此，术语粗和好被引入来纠正该混乱。最小和最大也是一样的原因被引入。它们在数学上对拓扑及开集集合更精确，我们一般更愿意用后者
例如，如果 $ f: X \to Y $是一个函数且X是一个拓扑空间，则有一个Y上最大拓扑使f连续，该拓扑有开集 $ \{ V \subset Y | f^{-1}(V)在X中是开的 \} $。同样有一个最小的拓扑
如果一个拓扑是满足某些给定条件的最大的拓扑则通常对给定拓扑有另外的条件是满足新条件最小的拓扑。例如，在Y上的拓扑，如前段例子中，是最小的拓扑满足条件“对所有空间Z和所有函数 $ g: Y \to Z, g \circ f 连续 \Rightarrow g连续 $“，这样讨论是否一个给定拓扑是弱或强的意义不大，除非定义条件是指定的
Subspaces
定义 如果X是一个拓扑空间且 $ A \subset X $则A上的相关拓扑或子空间拓扑是A和X的开集的交的集合，对这个拓扑，A被称为X的子空间
命题 如果Y是X的一个子空间则 $ A \subset Y $在Y中是闭的 $ \leftrightarrow A = Y \cap B $，B是X的某个闭子集
命题 如果X是一个拓扑空间且 $ A \subset X $则有一个最大的开集U使得 $ U \subset A $，这个集合被称为X中A的内部且被记为int(A)
命题 如果X是一个拓扑空间且 $ A \subset X $则有一个最小的闭集F使得 $ A \subset F \subset X $，这个集合被称为X中A的闭且被记为 $ \bar{A} $
如果我们需要指明闭集所在的空间（X），我们将使用记号 $ \bar{A}^{X} $
命题 如果 $ A \subset Y \subset X $则 $ \bar{A}^{Y} = \bar{A}^{X} \cap Y $，这样，如果Y是在X中闭的，则 $ \bar{A}^{Y} = \bar{A}^{X} $
定义 如果X是一个拓扑空间且 $ A \subset X $则A的边界或边沿被定义为 $ \partial A = dbry(A) = \bar{A} \cap \overline{X - A} $
命题 如果 $ Y \subset X $则Y与X的一个基的成员的交集集合是Y相关拓扑的一个基
命题 如果X, Y, Z是拓扑空间且Y是X的子空间且Z是Y的子空间，则Z是X的子空间
命题 如果X是一个度量空间且 $ A \subset X $则 $ \bar{A} $是A的点序列在X上的极限的集合
定义 一个拓扑空间X的子集A被称为在X中稠密的如果 $ \bar{A} = X $，一个子集A被称为在X中无处稠密如果 $ int(\bar{A}) = \emptyset $
Connectivity and Components
定义 一个拓扑空间X被称为连通的如果它不是两个非空开集的不可交并
定义 一个拓扑空间X的一个子集A被称为clopen如果它在X中即是开也是闭的
命题 一个拓扑空间X是连通的 $ \Leftrightarrow $它的clopen子集只有X和 $ \varnothing $
定义 一个离散值映射是一个映射（连续的）从拓扑空间X到一个离散空间D
命题 一个拓扑空间X是连通的 $ \Leftrightarrow $X上每个离散值映射是一个常量
证明：如果X是连通的且 $ d: X \to D $是一个离散值映射且如果 $ y \in D $在d的范围中，则 $ d^{-1}(y) $是clopen且非空的，且必须等于X，这样d是只有值y的常数
相反地，如果X不是连通的则 $ X = U \cup V $，对某个不相交clopen集U和V，则映射 $ d: X \to {0, 1} $，0在U上，1在V上是一个非常量离散值映射
命题 如果 $ f: X \to Y $是连续的且X是连通的，则f(X)是连通的
证明：设 $ d: f(X) \to D $是一个离散值映射。则 $ d \circ f $是一个在X上的离散值映射且因此必须是常数。但这意味着d是常数，因此f(X)是连续的
命题 如果 $ \{ Y_ {i} \} $是拓扑空间X中连通集的集合且如果没有两个 $ Y_ {i} $是不相交的，则 $ \cup Y_ {i} $是连通的
证明：设 $ d: \cup Y_ {i} \to D $ 是离散值映射。设p、q为任意 $ \cup Y_ {i} $上两个点。假设 $ p \in Y_ {i} $且 $ q \in Y_ {j} $且 $ r \in Y_ {i} \cap Y_ {j} $。则因为d在每个 $ Y_ {i} $上必须是常数我们有d(p) = d(r) = d(q)。但p和q是完全任意的，则d是一个常数
推论 关系“p和q属于一个X的连通子集“是一个相等关系
定义 上述推论中的相等关系的相等类型被称为X的部件
命题 空间X的部件是连通的且是闭的。每个连通集合包含在一个部件里。（这样部件为“最大连通子集“）部件要么为相等要么不相交，且填满X
证明：最后的陈述连接着一个事实，即部件为相等关系的相等类型。通过定义，X的部件包含p是包含p的所有连通集合的并，且根据之前命题来说它是连通的。这也意味着一个连通集合在一个部件中，该部件是闭的连接一个事实即连通集合的闭是连通的
命题 陈述“对每个X上离散值映射d(p) = d(q)“是一个相等关系
定义 上述命题中的相等类型关系被称为X的quasi-componennts
命题 一个空间X的Quasi-components是闭的。每个连通集合包含在一个quasi-component中。（特别地，每个部件包含在一个quasi-component中），Quasi-components要么相等要么不相交，且充满X
证明：如果 $ p \in X $则quasi-component包含
$ \begin{equation} \{ q \in X | d(q) = d(p) \text{ 对所有离散值映射d} \} \end{equation} $
但
$ \begin{equation} \cap \{ d^{-1}(d(p)) | d 一个离散值映射 \} \end{equation} $
其是一个闭集的交集且因此是闭的
Separation Axioms
定义 分割公理：
( $ T_ {0} $) 一个拓扑空间X被称为一个 $ T_ {0}- $空间如果对任意两个点 $ x \ne y $有一个开集包含其中一个但另一个不包含
( $ T_ {1} $) 一个拓扑空间X被称为一个 $ T_ {1}- $空间如果对任意两个点 $ x \ne y $有一个开集包含x但不包含y，另一个开集包含y但不包含x
( $ T_ {2} $) 一个拓扑空间X被称为一个 $ T_ {2}- $空间或hausdorff如果对任意两个点 $ x \ne y $有不相交开集U和V有 $ x \in U, y \in V $
( $ T_ {3} $) 一个 $ T_ {1}- $空间X被称为一个 $ T_ {3}- $空间或regular如果对任意点x和不包含x的闭集F有一个不相交开集U和V有 $ x \in U, F \in V $
( $ T_ {4} $) 一个 $ T_ {1}- $空间X被称为一个 $ T_ {4}- $空间或正常的如果对任意两个不相交闭集F和G有不相交开集U和V有 $ F \subset U, G \subset V $
公理 $ T_ {0} $简单描述点可被它们所在的开集区分
公理 $ T_ {1} $同样描述单点集合是闭集，因为如果我们对一个点x，对每个不同的点y我们使 $ U_ {y} $为一个开集包含y但不包含x，则 $ X - \{x\} = \cup U_ {y} $是开集的并且是开的。相反地，如果 $ \{ x \} $是闭的则开集 $ X - \{ x \} $为开集包含任意其他点
公理 $ T_ {2} $是这些公理里最重要的
命题 一个Hausdorff空间是规范的 $ \Leftrightarrow $任意点的闭邻居关系形成该点的一个邻居关系基
证明：假设X是规范的，设 $ x \in V $，V是开的，且让C = X - V。通过规则性有一个开集U、W，有 $ x \in U, C \subset W，且 U \cap W = \varnothing $。则 X - W是闭的，且我们有 $ X - W \subset X - C = V $，这样任意x的邻居关系V包含一个x的闭邻居关系 X - W
相反地，假设每个点有一个闭邻居关系基。设 $ x \notin C $，C是闭的，且让V = X - C。通过假设，有一个开集U有 $ \bar{U} \subset V = X - C 且 x \in U $，则 $ C \subset X - \bar{U}且 U \cap (X - \bar{U}) = \varnothing $。这样X是规范的
推论 一个规范空间的子空间是规范的
证明：如果 $ A \subset X $是一个子空间，在X中交一个点 $ a \in A $的一个闭邻居关系基为A且你得到在A中a的一个闭邻居关系
Nets (Moore-Smith Convergence)
在度量空间中函数的连续性可被表达为序列的收敛。这在一般的拓扑空间中不行。然而，有一个序列的一般化方法可以起作用且允许证明跟度量空间中使用序列的证明相似。这对直观有很大帮助。序列的一般化被称为一个net，虽然我们将使用这个概念证明一些重要的结论，但这些结果将不会用在本书的主要部分中
定义 一个直接的集合D是一个偏序集合使得对任意两个元素 $ \alpha, \beta $，有一个 $ \tau \in D, \tau \ge \alpha, \tau \ge \beta $
定义 一个拓扑空间X中的net是一个直接的集合D，有一个函数 $ \Phi : D \to X $
注意一个序列是一个简单的net基于自然数作为索引集
定义 如果 $ \Phi: D \to X $是拓扑空间X上的一个net且 $ A \subset X $则我们说 $ \Phi $在A上是频繁的如果对任意 $ \alpha \in D $有一个 $ \beta \ge \alpha $使得 $ \Phi(\beta) \in A $，这被称为最终在A中如果有一个 $ \alpha \in D $使得 $ \Phi(\beta) \in A, \forall \beta \ge \alpha $
定义 一个net $ \Phi: D \to X $在一个拓扑空间中被称为收敛到 $ x \in X $如果对x的每个邻居关系 $ U \subset X $，$ \Phi $最终在U中
注意如果一个net $ \Phi $最终在两个集合U和V中则它最终在 $ U \cap V $中。同样，如果 $ U \cap V = \varnothing $是不可能的。这证明半个如下事实。剩下的证明构建一个net，该net是典型的net在一般化拓扑空间中
命题 一个拓扑空间X是Hausdorff的 $ \Leftrightarrow $任意收敛的net的任意两个限制是相等的（这可以说是在这样一个空间的一个net的限制）
证明：$ \Rightarrow $可由之前的讨论得到。这样假设X不是Hausdorff的，$ x, y \in X $为两个点不能被开集分割，考虑直集其元素为开集的偏序对 $ \alpha = < U, V >, x \in U, y \in V $，顺序 $ < U, V > \ge < A, B > \Leftrightarrow (U \subset A且V \subset B) $。对任意 $ \alpha = < U, V > $，设 $ \Phi(\alpha) $为某些在 $ U \cap V $中的点。这定义了一个net $ \Phi $我们声称其收敛到x和y
为说明这个，设W为x的任意邻居关系。我们声称 $ \Phi $最终在W。事实上，对任意包含y的开集V和一个开集U，$ x \in U \subset W $且设 $ \alpha = <U, V> $。如果 $ \beta = <A, B> \ge \alpha $则 $ A \subset U且B \subset V $这样 $ \Phi(\beta) \in A \cap B \subset U \subset W $，这样 $ \Phi $收敛到x。相似的，它也收敛到y
接下来我们显示net是描述连续性的充分条件
命题 一个函数 $ f: X \to Y $在两个拓扑空间上是连续的 $ \Leftrightarrow $对X中每个net $ \Phi $收敛到 $ x \in X $，Y中net $ f \circ \Phi $收敛到f(x)
证明：首先假设f是连续的且设 $ \Phi $为X中的一个net收敛到x。设V为Y中任意开集包含f(x)且设 $ U = f^{-1}(V) $，其是x的一个邻居关系。通过收敛的定义，$ \Phi $最终在U中，这样 $ f \circ \Phi $最终在V中，且收敛到f(x)
相反地，假设f不连续，则有一个开集 $ V \in Y $使得 $ K = f^{-1}(V) $不是开的。设 $ x \in K - int(K) $，考虑直集包含x的开邻居关系，例如，$ A \le B $表示 $ A \supset B $。对任意这样的x的邻居关系，A不能完全在K中，这样我们可选择一个点 $ w_ {A} \in A - K $。定义net $ \Phi $设 $ \Phi(A) = w_ {A} $。如果N是x的任意邻居关系且如果 $ B \ge N $（例如，$ B \subset U $）则 $ \Phi(B) = w_ {B} \in B - K \subset U $，则 $ \Phi $最终在N中。这样 $ \Phi $收敛到x。然而 $ (f \circ \Phi)(A) \notin V, \forall A $，这样 $ f \circ \Phi $最终不在V中，这样不收敛到f(x)
给定一个特殊的net $ \Phi: D \to X $设 $ x_ {\alpha} = \Phi(\alpha), \alpha \in D $，则通常说 $ \{ x_ {\alpha} \} $为问题中的net。这个记号使net的讨论跟序列的相似，例如，上面命题的条件可描述为
$ \begin{equation} f(\lim x_ {\alpha}) = \lim (f(x_ {\alpha})) \end{equation} $
命题 如果 $ A \subset X $则 $ \bar{A} $邻接A中net极限集合，其在X中收敛
证明：如果 $ x \in \bar{A} $则x的任意开邻居关系必须与A相交。这样我们可基于一个net在这个邻居关系集合上，顺序为包含且有这样的点 $ x_ {U} \in U \cap A $。这很明显收敛到x。相反地，如果 $ \{ x_ {\alpha} \} $是A中任意net的点，其收敛到一个点 $ x \in X $，则，通过定义，这个net最终在任意给定的x的邻居关系中。这样x的任意邻居关系包含A中一个点且 $ x \in \bar{A} $
在普通的序列中，子序列可被认为由两种不同的方式形成：(1)通过丢弃序列中的元素并重排列，或(2)组成序列，通过函数 $ Z^{+} \to X $，用一个函数 $ h: Z^{+} \to Z^{+} $，使得 $ i > j \Rightarrow h(i) > h(j) $。第一种不适合一般空间中的net，对第二种，最后的h单调性条件比通常使用的子序列要强。修改它导致更一般的记号“subnet“
定义 如果D和$ D’ $为直集且 $ h: D’ \to D $是一个函数，则h被称为final如果 $ \forall \delta \in D, \exists \delta’ \in D’ \in (\alpha’ \ge \delta’ \Rightarrow h(\alpha’) \ge \delta) $
定义 一个net的子net $ \mu: D \to X $，是 $ \mu $的组合 $ \mu \circ h $及一个final函数 $ h: D’ \to D $
命题 一个net $ \{ x_ {\alpha} \} $在一个给定点 $ x \in X $上的每个邻居关系中是频繁的 $ \Leftrightarrow $它是一个收敛到x的子net
证明：考虑直集 $ D’ $包含有序对 $ (\alpha, U), \alpha \in D $，U是x的一个邻居关系，且 $ x_ {\alpha} \in U $，通过D顺序顺序化且包括。如果 $ (\alpha, U) $和 $ (\beta, V) $在 $ D’ $中，则因为 $ \{ x_ {\alpha} \} $在 $ U \cap V $是频繁的，有一个 $ \gamma \ge \alpha, \beta, x_ {\gamma} \in U \cap V $。这样 $ (\gamma, U \cap V) \in D’ $且 $ (\gamma, U \cap V) \ge (\alpha, U), (\beta, V) $，显示 $ D’ $是直的。通过 $ (\alpha, U) \mapsto \alpha $映射 $ D’ \to D $。对任意 $ \delta \in D $，我们有 $ (\delta, X) \in D’ $。现在 $ (\alpha, U) \ge (\delta, X) $意味着 $ \alpha \ge \delta $，意味着 $ D’ \to D $是final的，且这样 $ \{ x_ {(\alpha, U)} \} $是 $ \{ x_ {\alpha} \} $的子net。我们称它收敛到x。设N为x的任意邻居关系，通过假设，有某个 $ x_ {\beta} \in N $。如果 $ (\alpha, U) \ge (\beta, N) $则 $ x_ {(\alpha, U)} = x_ {\alpha} \in U \subset N $。相反地，$ \{ x_ {(\alpha, U)} \} $最终在N中
接下来我们处理没有序列信息的net的强大概念
定义 一个在集合X上的net被称为universal如果对任意 $ A \subset X $，net要么最终在A中或最终在X - A中
命题 在X中的一个universal net的组合有一个函数 $ f: X \to Y $是Y中一个universal net
证明：由定义如果 $ A \subset Y $则net最终要么在 $ f^{-1}(A) 或 X - f^{-1}(A) $中，但 $ X - f^{-1}(A) = f^{-1}(Y - A) $且它跟随组合net最终要么在A或Y - A中
除了一些无趣的例子，unniverse net的定义可能看起来很强以至于读者可能怀疑universal net的存在，然而
定理 每个net有一个universe 子net
证明：设 $ \{ x_ {\alpha} | \alpha \in P \} $为X中一个net，考虑X中所有子集的收集C使得:
(1) $ A \in C \Rightarrow \{ x_ {\alpha} \} $在A中是频繁的，且
(2) $ A, B \in C \Rightarrow A \cap B \in C $
例如，$ C = \{ X \} $是这样一个收集。顺序化包含所有这样收集C的族。任意简单这样收集的顺序化集合的并是一个收集，例如，满足(1)和(2)。通过最大化原理，有一个最大的这样的收集 $ C_ {0} $
设 $ P_ {0} = \{ (A, \alpha) \in C_ {0} \times P | x_ {\alpha} \in A \} $且顺序化 $ P_ {0} $通过
$ \begin{equation} (B, \beta) \ge (A, \alpha) \Leftrightarrow B \subset A且 \beta \ge \alpha \end{equation} $
这给定了$ P_ {0} $上的一个偏序使 $ P_ {0} $为一个直集。映射 $ P_ {0} \to P $通过使 $ (A, \alpha) $ 到 $ \alpha $。这明显是final的且这样定义一个子net我们记为 $ \{ x_ {(A, \alpha)} \} $。我们声称这个子net是universal的
假设S是X的任意子集使得 $ \{ x_ {(A, \alpha)} \} $在S中是频繁的，则对任意 $ (A, \alpha) \in P_ {0} $，有一个 $ P_ {0} 中(B, \beta) \ge (A, \alpha) $有 $ x_ {\beta} = x_ {(B, \beta)} \in S $。则 $ B \subset A, \beta \ge \alpha $，且 $ x_ {\beta} \in B $。这样 $ x_ {\beta} \in S \cap B \subset S \cap A $。对任意 $ A \in C_ {0} $我们有 $ \{ x_ {\alpha} \} $在 $ S \cap A $中是频繁的。对 $ A \in C_ {0} $我们可把S和所有 $ S \cap A $的集合扔到 $ C_ {0} $中且条件(1)和(2)将仍然保持。通过最大化，我们必须有 $ S \in C_ {0} $。如果 $ \{ x_ {(A, \alpha)} \} $ 也频繁在X - S中则X - S也在 $ C_ {0} $中，且这样 $ \varnothing = S \cap (X - S) $也在 $ C_ {0} $中，通过(2)，这与(1)不符。这样我们知道 $ \{ x_ {(A, \alpha)} \} $在X - S中不是频繁的，这样最终是在S中
我们已显示如果 $ \{ x_ {(A, \alpha)} \} $在集合S中是频繁的，则，事实上，它最终在S中。这意味着 $ \{ x_ {(A, \alpha)} \} $是universal的
注意这个证明在最大化原理的伪装下使用了选择公理。事实上，它可显示上面的定理与选择公理是相当的
如下事实从定义中可直接得到
命题 一个universal net的子net是universal的
Compactness
定义 一个拓扑空间X的覆盖是集合的收集其并为X。它是开覆盖的如果集合是开的。一个子覆盖是该收集的子集覆盖该空间
如果 $ A \subset X $，为方便起见，我们有时使用“覆盖A”来表示X的子集的收集，其并包含A
定义 一个拓扑空间X被称为是紧的如果每个X的开覆盖有一个有限的子覆盖
定义 一个集合的收集C有有限的交属性如果任意有限子收集的交非空
定理 一个拓扑空间是紧的 $ \Leftrightarrow $对X的有有限交属性的每个闭子集的收集，整个收集的交非空
定理 如果X是一个Hausdorff空间，则X的任意紧子集是闭的
证明：设 $ A \subset X $为紧的且假设 $ x \in X - A $。对 $ a \in A $设 $ a \in U_ {a} $且 $ x \in V_ {a} $为开集且 $ U_ {a} \cap V_ {a} = \varnothing $。现在 $ A = \cup (U_ {a} \cap A ) $，这意味着，由A的紧性，有 $ a_ {1}, a_ {2}, \ldots, a_ {n} \in A $，使得 $ A \subset U_ {a1} \cup \cdots \cup U_ {an} = U $。但 $ x \in V_ {a1} \cap \cdots \cap V_ {an} = V $，这是开的，且 $ U \cap V = \varnothing $。这样 $ x \in V \subset X - U \subset X - A $且V是开的。因为对任意 $ x \in X - A $这是真的，我们有X - A是开的，且这样A是闭的
定理 如果X是紧的且 $ f: X \to Y $是连续的，则f(X)是紧的
证明：我们可以用f(X)取代Y且假设f是onto的。对任意Y的开覆盖查看它的集合的反像且应用X的紧性质
定理 如果X是紧的，且 $ A \subset X $是闭的，则A是紧的
证明：在X中用开集覆盖A，通过开集X - A且应用X的紧性质
定理 如果X是紧的且Y是Hausdorff的且 $ f: X \to Y $是连续的，one-one,且onto，则f是homeomorphism
证明：我们已可证 $ f^{-1} $是连续的，即f是一个闭映射。但如果 $ A \subset X $是闭的，则A是紧的，这样f(A)是紧的，因此f(A)是闭的
定理 单位间隔 I = [0, 1]是紧的
证明：设 $ \mathcal{U} $为I的一个开覆盖，设
$ \begin{equation} S = \{ s \in I | [0, s]被 \mathcal{U} 的一个有限子收集覆盖 \end{equation} $
设b为S的最小上界。明显S必须为一个间隔形如S = [0, b)或S = [0, b]。在前一种形式中，考虑一个集合 $ U \in \mathcal{U} $包含点b。该集合必须包含一个间隔形如[a, b]。但然后我们可扔掉U假设[0, a]的有限覆盖来获得[0, b]的有限覆盖。专业我们必须有S = [0, b]对某个 $ b \in [0, 1] $。但如果b < 1，则对某个c > b，有一个[0, c]的有限覆盖，跟b的选择矛盾。这样b = 1且我们找到了想要的[0, 1]的有限覆盖
定理 在一个紧空间上的实值映射假设有一个最大值
证明：如果 $ f: X \to R $是连续的且X是紧的则f(X)是紧的，这样f(X)是闭且有界的。这样sup(f(X))存在，有限且属于f(X)因为f(X)是闭的
定理 一个紧的Hausdorff空间是normal的
证明：假设X是紧Hausdorff的。我们将首先显示X是regular的。假设C是一个闭子集且 $ x \notin C $，因为X是Hausdorff的，对任意点 $ y \in C $有一个开集 $ U_ {y}和 V_ {y}, x \in U_ {y}, y \in V_ {y}, U_ {y} \cap V_ {y} == \varnothing $。因为C是闭的，它是紧的，且 $ V_ {y} $覆盖它。这样有点 $ y_ {1}, \ldots, y_ {n} $，使得 $ C \subset V_ {y_ {1}} \cup \cdots \cup V_ {y_ {n}} $。如果我们设 $ U = U_ {y_ {1}} \cap \cdots \cap U_ {y_ {n}} $且 $ V = V_ {y_ {1}} \cup \cdots \cup V_ {y_ {n}} $则 $ x \in U, C \subset V 且 U \cap V = \varnothing $，则X是regular的，剩下的证明相似
定义 一个拓扑空间之间的映射 $ f: X \to Y $被称为proper的如果 $ f^{-1}(C) $对Y的每个紧子集C是紧的
定理 如果 $ f: X \to Y $是一个闭映射且 $ f^{-1}(y) $对每个 $ y \in Y $是紧的，则f是proper的
证明：设 $ C \subset Y $为紧的且设 $ \{ U_ {\alpha} | \alpha \in A \} $为一个开集的收集其并包含 $ f^{-1}(C) $。对任意 $ y \in C $有一个有限子集 $ A_ {y} \in A $使得
$ \begin{equation} f^{-1}(y) \subset \cup \{ U_ {\alpha} | \alpha \in A_ {y} \} \end{equation} $
设
$ \begin{equation} W_ {y} = \cup \{ U_ {\alpha} | \alpha \in A_ {y} \} \end{equation} $
且
$ \begin{equation} V_ {y} = Y - f(X - W_ {y}) \end{equation} $
其是开的。注意 $ f^{-1}(V_ {y}) \subset W_ {y} 且y \in V_ {y} $。因为C是紧的且被 $ V_ {y} $覆盖，有点 $ y_ {1}, \ldots, y_ {n} $使得 $ C \subset V_ {y_ {1}} \cup \cdots \cup V_ {y_ {n}} $。这样
$ \begin{equation} \begin{aligned} f^{-1}(C) \subset & f^{-1}(V_ {y_ {1}}) \cup \cdots \cup f^{-1}(V_ {y_ {n}}) \subset W_ {y_ {1}} \cup \cdots \cup W_ {y_ {n}} \\ = & \cup \{ U_ {\alpha} | \alpha \in A_ {y_ {i}}; i = 1, 2, \ldots, n \} \end{aligned} \end{equation} $
是一个有限并
定理 对一个拓扑空间X如下描述等效：
(1) X是紧的
(2) 带有限交属性的每个X的闭子集的收集有一个非空的交集
(3) X中每个universal net是收敛的
(4) X中每个net有一个收敛的subnet
证明：我们已处理(1)和(2)的相等性，对(1) $ \Rightarrow $ (3)假设 $ \{ x_ {\alpha} \} $是一个universe net其不收敛，则给定 $ x \in X $，有一个x的开邻居关系 $ U_ {x} $使得 $ x_ {\alpha} $最终不在 $ U_ {x} $中，则由universe的定义 $ x_ {\alpha} $最终在 $ X - U_ {\alpha} $中。即有一个索引 $ \beta_ {x} $使得 $ \alpha \ge \beta_ {x} \Rightarrow x_ {\alpha} \notin U_ {x} $。通过 $ U_ {x_ {1}} \cup \cdots \cup U_ {x_ {n}} $，设 $ \forall i, \alpha \ge \beta_ {x_ {i}} $，则 $ \forall i, x_ {\alpha} \notin U_ {x_ {i}} $，这意味着 $ x_ {\alpha} \notin X $，悖论
(3) $ \Rightarrow $ (4)是明显的因为每个net有一个universe子net
(4) $ \Rightarrow $ (2)，设 $ F = \{ C \} $为带有限交属性的闭集的收集，我们可抛出在所有有限交中且假设F在有限交下是闭的。则F，排序为 $ C \ge C’ \Leftrightarrow C \subset C’ $，是直的。对每个 $ C \in F $设 $ x_ {c} \in C $，定义一个net。假设，有一个收敛子net，给定为一个final映射 $ f : D \to F $。这样，对 $ \alpha \in D, f(\alpha) \in F且x_ {f(\alpha)} \in f(\alpha) $。假设 $ x_ {f(\alpha)} \to x $。设 $ C \in F $。则有一个 $ \beta \in D \in \alpha \ge \beta \Rightarrow f(\alpha) \subset C $，且这样 $ x_ {f(\alpha)} \in f(\alpha) \subset C $。因为C是闭的则 $ x \in C $。这样 $ x \in \cap\{ C \in F \} $，得到(2)
Products
设X和Y为拓扑空间。则我们可定义一个拓扑（称为乘积拓扑）在 $ X \times Y $上，把 $ U \times V $集合的收集作为子基，当 $ U \subset X, V \subset Y $为开集。因为
$ U_ {1} \times V_ {1} \cap U_ {2} \times V_ {2} = (U_ {1} \cap U_ {2}) \times (V_ {1} \cap V_ {2}) $
这事实上是一个基。因此开集精确地为这样的矩形的并
相似地，我们可定义一个乘积拓扑在有限乘积 $ X_ {1} \times X_ {2} \times \cdots \times X_ {n} $拓扑空间
对一个无限乘积 $ \times \{X_ {\alpha} | \alpha \in A \} $，我们定义乘积拓扑为当 $ U_ {\alpha} $为开集一个包含 $ \times \{U_ {\alpha} | \alpha \in A\} $的基的集合上的拓扑且当我们需要对所有 $ U_ {\alpha} = X_ {\alpha} $，只有有限个 $ \alpha $不同时。注意形如 $ U_ {\alpha} \times \times \{X_ {\beta} | \beta \neq \alpha\} $的集合的收集是乘积拓扑的一个子基。该拓扑也称为Tychonoff拓扑
命题 映射 $ \pi_ {X}: X \times Y \to X, \pi_ {Y}: X \times Y \to Y $为连续，且乘积拓扑是对之成立的最小拓扑。对无穷乘积也类似
证明：之前描述的子基包含这些集合必须是开集，对映射是连续的，且命题刚好做出了表达
命题 如果X是紧的则映射 $ \pi_ {Y}: X \times Y \to Y $是闭集
证明：设 $ C \subset X \times Y $为闭集。我们显示 $ Y - \pi_ {Y}(C) $是开集。设 $ y \notin \pi_ {Y}(C) $，例如，$ <x, y> \notin C, \forall x \in X $。则对任意 $ x \in X $，有开集 $ U_ {x} \subset X, V_ {x} \subset Y $使得 $ x \in U_ {x}, (U_ {x} \times V_ {x}) \cap C = \emptyset $
因为X是紧的，有点 $ x_ {1}, \ldots, x_ {n} \in X $使得 $ U_ {x_ {1}} \cup \cdots U_ {x_ {n}} = X $。设 $ V = V_ {x_ {1}} \cap \cdots \cap V_ {x_ {n}} $。则
$ (X \times V) \cap C = (U_ {x_ {1}} \cup \cdots \cup U_ {x_ {n}}) \times (V_ {x_ {1}} \cap \cdots \cap V_ {x_ {n}}) \cap C = \emptyset $
这样，$ y \in V \subset Y - \pi_ {Y}(C) $且V是开集。因为y是$ Y - \pi_ {Y}(C) $上任意一点，它使得该集合是开集，且这样它的补集 $ \pi_ {Y}(C) $是闭集
推论 如果X是紧的则 $ \pi_ {Y}: X \times Y \to Y $是适合的
推论 如果X和Y为紧的，则 $ X \times Y $为紧的
推论（有限乘积的Tychonoff定理） 如果$ X_ {i} $是紧的，则 $ X_ {1} \times \cdots \times X_ {n} $是紧的
推论 方块 $ I^{n} \subset R^{n} $是紧的
推论 $ R^{n} $的子空间是紧的 $ \Leftrightarrow $ 它是闭的且有界
证明 设X为子空间
（ $ \Rightarrow $）因为X是紧的，它是闭的。用在原点半径为k, $ k = 1, 2, \ldots $的开球覆盖X，因为有这样的，通过假设，一个有限的覆盖，X必须在这些开球中的一个，因此它是有界的
（ $ \Leftarrow $）如果X是闭且有边界的，则它在以原点半径为k的某些球里，该球包含 $ [-k, k] \times \cdots \times [-k, k] $区域，因此是紧的。这样X是一个紧集的闭子集且因此是一个子空间
命题 一个在乘积空间 $ X = \times X_ {\alpha} $的net覆盖点 $ (\ldots, x_ {\alpha}, \ldots) \Leftrightarrow $ 它是每个映射 $ \pi_ {\alpha}: X \to X_ {\alpha} $收敛到 $ x_ {\alpha} $的组合
定理（Tychonoff） 紧空间的一个任意收集的乘积是紧的
证明 设 $ X = \times X_ {\alpha}, X_ {\alpha} $是紧的。设 $ f: D \to X $为X中的一个universal net。则组合 $ \pi_ {\alpha} \circ f $也是一个universal net。因此它的组合覆盖，通过之前的定理证明。但这意味着原始的net覆盖点其第$ \alpha $个坐标是 $ x_ {\alpha} $且这样X是紧的
如果X是一个空间且A是一个集合，A的乘积拷贝X通常被记为 $ X^{A} $且被认为是函数的空间：$ f: A \to X $。这样，有如下形式
命题 一个net $ \{ f_ {\alpha} \} $在 $ X^{A} $中覆盖 $ f \in X^{A} \Leftrightarrow \forall x \in X, f_ {\alpha}(x) \to f(x) $，特别地，$ \lim{(f_ {\alpha}(x))} = (\lim{f_ {\alpha}})(x) $
定义 如果X和Y是空间，则它们的拓扑和或不相交并X + Y是集合 $ X \times \{0\} \cup Y \times \{1\} $，其拓扑使得 $ X \times \{0\}, Y \times \{1\} $闭的且包含 $ X \to X + Y $的$ x \mapsto (x, 0) $和 $ Y \to X + Y $的 $ y \mapsto (y, 1) $同构到它们的像。更一般地，如果 $ \{X_ {\alpha} | \alpha \in A \} $是空间的一个索引家族则它们的拓扑和 $ +_ {\alpha} X_ {\alpha} $是 $ \cup \{X_ {\alpha} \times \{ \alpha \} | \alpha \in A \} $给出拓扑使得每个 $ X_ {\alpha} \times \{\alpha\} $闭且每个包含 $ X_ {\beta} \to +_ {\alpha}X_ {\alpha} $的 $ x \mapsto (x, \beta) $是它的象 $ X_ {\beta} \times \{\beta\} $的一个同构
再次Metric空间
在本节中，我们讨论一个metric空间完备的中心概念，直观地说，序列应该收敛。我们也显示在拓扑空间上，对给定的拓扑在空间上存在一个度量的某些拓扑条件
定义 一个度量空间上的柯西序列是一个序列 $ x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ldots $使得 $ \forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \in n, m > N \Rightarrow dist(x_ {n}, x_ {m}) < \epsilon $
定义 一个度量空间X被称为是完备的如果X中每个柯西序列在X中收敛
定义 一个度量空间X是总边界的，如果对每个 $ \epsilon > 0 $，X可被有限个 $ \epsilon - $球覆盖
定理 在一个度量空间X中如下条件相当
(1) X是紧的
(2) X中每个序列有一个收敛的子序列
(3) X是完备的且有总边界
证明。(1) $ \Rightarrow $ (2)。设 $ \{x_ {n}\} $为一个序列。假设x不是一个子序列的极限。则有一个x的开的邻居关系 $ U_ {x} $包含 $ x_ {n} $，n为一个有限数。因为X可被有限个 $ U_ {x} $覆盖，这跟n是无穷大索引矛盾
(2) $ \Rightarrow $ (3)。设 $ \{x_ {n} \} $为一个柯西序列。它从(2)有对某个 $ x \in X $有某个子序列 $ x_ {n_ {j}} \to x $。三角不等式意味着 $ x_ {n} \to x $且因此X是完备的。现在假设X不被有限个 $ \epsilon - $球覆盖。则可选择点 $ x_ {1}, x_ {2}, \ldots $使得 $ dist(x_ {i}, x_ {j}) > \epsilon $，对所有j < i。则任意这些点的两个之间的距离大于 $ \epsilon $。这样的序列没有收敛的子序列，这跟(2)矛盾。这样，事实上，X必须为总有序的
(3) $ \Rightarrow $ (2)。设 $ \{x_ {n} \} $ 为X中任意一个序列。因为X被假设为总有界的，它可被有限个1球覆盖。这样这些1球中的一个，记为 $ B_ {1} $，对一个无限数n包含 $ x_ {n} $。接着，X，且因此 $ B_ {1} $，可被有限个 $ \frac{1}{2} $球覆盖，这样记 $ B_ {2} $，必须使得 $ B_ {1} \cap B_ {2} $包含 $ x_ {n} $，对无限数n。继续这样的操作我们可找到，对 $ n = 1, 2, 3 \ldots $，一个 $ (1 / n) $球 $ B_ {n} $使得 $ B_ {1} \cap B_ {2} \cap \cdots \cap B_ {n} $包含 $ x_ {i} $，i为一个无限数。这样，我们可选择一个子序列 $ \{ x_ {n_ {i}} \} $使得 $ x_ {n_ {i}} \in B_ {1} \cap \cdots \cap B_ {i} $，对所有i。如果i < j，则它有 $ x_ {n_ {i}}, x_ {n_ {j}} $都在 $ B_ {1} $中，且因此 $ dist(x_ {n_ {i}}, x_ {n_ {j}}) < 1 / i $。这意味着该序列是柯西的且这样它必须收敛
$ (2) \Rightarrow (1) $。假设 $ \{U_ {\alpha} | \alpha \in A\} $是X的一个开覆盖。因为X是总有界的，我们可找到X中点 $ x_ {1}, x_ {2}, \ldots $的一个密集序列。对每个 $ x_ {i} $有一个正整数n使得 $ B_ {1 / n}(x_ {i}) \subset U_ {\alpha} $对某些 $ \alpha $。通过 $ V_ {n,i} $来记一个这样的 $ U_ {\alpha} $。现在，给定 $ x \in X $，有一个n使得 $ B_ {2/ n}(x) \subset U_ {\alpha} $对某个 $ \alpha $。通过紧密性，也有一个i使得 $ dist(x_ {i}, x) < 1 / n $。则 $ B_ {1/n}(x_ {i}) \subset B_ {2/n}(x) \subset U_ {\alpha} $使得 $ V_ {n,i} $是定义的。这样，$ x \in B_ {1/n}(x_ {i}) \subset V_ {n,i} $。因此，$ V_ {n,i} $覆盖X且这是原始覆盖的一个可数子覆盖。让我们重命名这个可数子覆盖 $ \{V_ {1}, V_ {2}, \ldots \} $。如果这有有限个子覆盖，则我们得证。如果不是则闭集
$ C_ {1} = X - V_ {1} $
$ C_ {2} = X - (V_ {1} \cup V_ {2}) $
$ C_ {3} = X - (V_ {1} \cup V_ {2} \cup V_ {3}) $
$ \ldots $
所有都非空。且 $ C_ {1} \supset C_ {2} \supset C_ {3} \supset \cdots $。选择 $ x_ {i} \in C_ {i} $对每个i。通过我们的假设，有一个收敛子序列 $ x_ {n_ {i}} \to x $。因为 $ x_ {n_ {i}} \in C_ {n} $对所有 $ n_ {i} > n $，且 $ C_ {n} $是闭的，x必须在 $ C_ {n} $，对所有n。这样
$ x \in \cap \{C_ {n}\} = X - \cap \{V_ {n}\} = \varnothing $
这个矛盾完成了证明
定义 一个Hausdorff空间X被称为完全规范的，或 $ T_ {3 \frac{1}{2}} $，如果，对每个点 $ x \in X $，且闭集 $ C \subset X, x \notin C $，有一个映射 $ f: X \to [0, 1] $使得f(x) = 0且在C上 $ f \equiv 1 $
通过这样一个函数，其映射 $ [0, 1] \to [0, 1] $，在 $ [0, \frac{1}{2}] $上是0，伸展 $ [\frac{1}{2}, 1] $到 $ [0, 1] $，我们看到函数f在这个定义上使得x的邻居关系为0
命题 假设X是一个度量空间，定义
$ dist^{\prime}(x, y) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{if } dist(x, y) > 1 \\ dist(x, y) & \text{if } dist(x, y) \le 1 \end{array} \right. $
则dist和 $ dist^{\prime} $在X上有相同的拓扑
证明 明显拓扑只依赖在开 $ \epsilon - $球，对小的 $ \epsilon $，且它们在两个度量中相同
命题 设 $ X_ {i}, i = 1,2,3, \ldots $为一个度量空间，度量边界为1。定义一个度量在 $ \times \{X_ {i}\} $上，$ dist(x, y) = \sum_ {i}dist(x_ {i}, y_ {i}) / 2^{i} $，$ x_ {i} $是x的第i个坐标。然后这个度量给出乘积拓扑
证明 设X记为乘积拓扑的乘积空间，且 $ X^{\prime} $是度量拓扑的相同集合。通过之前的问题显示 $ X^{\prime} \to X $是连续的，它显示映射到每个 $ X_ {i} $的组成是连续的。但这个映射减少距离且然后乘以常量 $ 2^{i} $且意味着连续性。相反，它有效显示对任意点 $ x \in X $，关于x的$ \epsilon - $球包含一个x的邻居关系在乘积拓扑中。回忆
$ B_ {\epsilon}(x) = \{y | \sum_ {i}(dist(x_ {i}, y_ {i}) / 2^{i}) < \epsilon \} $
设n为很大使得 $ 2^{-n} < \epsilon / 4 $且然后设 $ y_ {i} \in X_ {i} $使得 $ dist(x_ {i}, y_ {i}) < \epsilon / 2, i = 1,2,\ldots, n-1 $且对任意 $ i \ge n $。然后我们计算
$ \begin{aligned} dist(x, y) &= \sum^{n-1}_ {i=1} dist(x_ {i}, y_ {i}) / 2^{i} + \sum^{\infty}_ {i=n} dist(x_ {i}, y_ {i}) / 2^{i} \\ &< \sum^{n-1}_ {i=1} \epsilon / 2^{i+1} + \frac{1}{4} \epsilon (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \cdots ) \\ &< \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon \end{aligned} $
这样
$ x \in B_ {\epsilon / 2}(x_ {1}) \times \cdots \times B_ {\epsilon / 2}(x_ {n-1}) \times X_ {n} \times X_ {n+1} \times \cdots \subset B_ {\epsilon}(x) $
中间的项为乘积拓扑中的基本开集
引理 假设X是Hausdroff且 $ f_ {i}: X \to [0, 1] $为映射$ i = 1,2,3,\ldots) $使得，对任意点 $ x \in X $且任意闭集合 $ C \subset X, x \notin C $，有一个索引i使得 $ f_ {i}(x) = 0 $且 $ f_ {i} \equiv 1 $在C上。定义$ f: X \to X \{[0,1] | i = 1,2,3,\ldots \} $通过 $ f(x) = \times \{f_ {i}(x) | i = 1,2,3,\ldots\} $。则f是一个嵌入，例如，在它的像上的同构
证明 f是连续的，它也清晰地说明f是1对1的（但不是onto的）。这样它显示 $ C \subset X $ 紧的 $ \Rightarrow f(C) $在f(X)上是紧的。假设我们有一个序列 $ c_ {i} \in C $使得 $ f(c_ {i}) \to f(x) $。它然后显示 $ x \in C $。如果不是，则有一个索引i使得 $ f_ {i}(x) = 0 $且 $ f_ {i} \equiv 1 $在C上。则 $ 1 = f_ {i}(c_ {n}) \to f_ {i}(x) = 0 $且这个矛盾
引理 假设X是第二可数可完全规则空间且设S为一个可数基对开集。对每个对 $ U, V \in S, \bar{U} \subset V $，选择一个映射 $ f: X \to [0, 1] $在U上为0且在X - V上为1，提供这样一个函数存在。称映射F的这个集合，可能为空，且注意F是可数的。然后对每个 $ x \in X $，且每个闭集 $ C \subset X, x \notin C $，有一个 $ f \in F, f \equiv 0 $在一个x的邻居关系上且 $ f \equiv 1 $在C上
证明 引理的整个点是映射f可从之前定义的可数收集F中选择。给定 $ x \notin C $，我们可找到一个 $ V \in S, x \in V \subset X - C $（基的定义）。因为X是完全规则的我们可找到一个映射 $ g: X \to [0, 1] $，其0在x上1在X - V上。如之前的定义，这可假设为0在x的一个邻居关系上。这包含一个邻居关系 $ U \in S $且这样我们提供一个三元组U, V, g满足引理的初始化需求。通过假设，g可被另一个映射 $ f \in F $带有相同的属性进行替换，且f满足最终的需求
定理（Urysohn Metrization定理） 如果一个空间X是第二可数且完全规矩的则它是metrizable的
证明 找到一个可数家族F，其函数满足引理上面的引理。应用上上个引理获得一个X的嵌入进入一个可数乘积的单位间隔。最终，应用上面的命题看到这个可数内部乘积，且因此X是mertrizable
如下引理将对我们有用，diameter，diam(A)，一个度量空间的一个子集A是 $ sup\{ dist(p, q) | p, q \in A\} $
引理（Lebesgue引理） 设X为一个紧的度量空间且设 $ \{U_ {\alpha}\} $为一个X的开覆盖。则有一个 $ \delta > 0 $（一个覆盖的Lebesgue数）使得 $ (A \subset X, diam(A) < \delta) \Rightarrow A \subset U_ {\alpha} $对某个 $ \alpha $
证明 对每个 $ x \in X $有一个 $ \epsilon(x) > 0 $使得 $ B_ {2 \in (x)}(x) \subset U_ {\alpha} $对某个 $ \alpha $，则X被有限多个 $ B_ {\epsilon(x)}(x) $覆盖，对 $ x = x_ {1}, \ldots, x_ {n} $。定义 $ \delta = min\{ \epsilon(x_ {i}) | i = 1, \ldots, n\} $。假设 $ diam(A) < \delta $且取一个点 $ a_ {0} \in A $。则有一个索引 $ 1 \le i \le n $使得 $ dist(a_ {0}, x_ {i}) < \epsilon(x_ {i}) $。如果 $ a \in A $，则 $ dist(a, a_ {0}) < \delta \le \epsilon(x_ {i}) $。通过三角不等式，$ dist(a, x_ {i}) < 2 \epsilon(x_ {i}) $。这样 $ A \subset B_ {2 \in (x_ {i})}(x_ {i}) \subset U_ {\alpha} $对某个 $ \alpha $
实值函数的存在
在度量理论的最后章节，我们给出条件包含空间完全规范的度量。这依赖知道足够多的存在，空间上的连续实值函数。它使找到纯拓扑问题假设将保证这样的函数，且那是我们在本章节要处理的
引理 假设在一个拓扑空间X上，我们给定，对每个两分有理数 $ r = m / 2^{n} (0 \le m \le 2^{n}) $，一个开集 $ U_ {r} $使得 $ r < s \Rightarrow \bar{U_ {r}} \subset U_ {s} $。则函数 $ f: X \to R $定义为
$ f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} inf \{ r | x \in U_ {r} \} & \text{if } x \in U_ {1} \\ 1 & \text{if } x \notin U_ {1} \end{array} \right. $
是连续的
证明 注意，对两分r:
$ f(x) < r \Rightarrow x \in U_ {r} \qquad \text{因此 } f(x) \ge r \Leftarrow x \notin U_ {r} $
$ f(x) \le r \Leftarrow x \in U_ {r} \qquad \text{因此 } f(x) > r \Rightarrow x \notin U_ {r} \Rightarrow x \in X - U_ {r} $
因此，对 $ \alpha $实数
$ f^{-1}(- \infty, \alpha) = \{x | f(x) < \alpha\} = \cup \{ U_ {r} | r < \alpha \} $
其是开的，且
$ f^{-1}(\beta, \infty) = \{x | f(x) > \beta\} = \cup \{X - U_ {r} | r > \beta \} = \cup \{X - \bar{U}_ {s} | s > \beta \} $
其也是开的。因为这些半无限间隔给了一个子基对R的拓扑，f是连续的
引理（Urysohn引理） 如果X是normal且 $ F \subset U $，F是闭的且U是开的，则有一个映射 $ f: X \to [0, 1] $，在F上为0且X - U上为1
证明 把 $ U_ {1} = U $且使用normality来找到 $ F \subset U_ {0}, \bar{U}_ {0} \subset U_ {1} $
$ \bar{U}_ {0} \subset U_ {1 / 2} \qquad \text{且} \bar{U}_ {1 / 2} \subset U_ {1} $
$ \bar{U}_ {0} \subset U_ {1 / 4} \qquad \text{且} \bar{U}_ {1 / 4} \subset U_ {1 / 2} \qquad \text{且} \bar{U}_ {1 / 2} \subset U_ {3 / 4} \qquad \text{且} \bar{U}_ {3 / 4} \subset U_ {1} $
等，应用之前的引理得证
推论 Normality $ \Rightarrow $ 完全规范的
定理(Tietze Extension Theorem) 设X为normal的且 $ F \subset X $为闭的，设 $ f: F \to R $连续。则有一个映射 $ g: X \to R $使得g(x) = f(x)对所有 $ x \in F $。更一般地，它可被排列为
$ \operatorname{sup}_ {x \in F} f(x) = \operatorname{sup}_ {x \in X} g(x) \qquad \operatorname{inf}_ {x \in F} f(x) = \operatorname{inf}_ {x \in X} g(x) $
证明 首先让我们用事例f是有界的。不失一般性，我们可假设 $ 0 \le f(x) \le 1 $及最小为0最大为1。通过Urysohn引理，存在一个函数 $ g_ {1}: X \to [0, \frac{1}{3}] $使得
$ g_ {1}(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & \text{if } x \in F \text{ and } f(x) \le \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \text{if } x \in F \text{ and } f(x) \ge \frac{2}{3} \end{array} \right. $
设 $ f_ {1} = f - g_ {1} $且注意 $ 0 \le f_ {1}(x) \le \frac{2}{3}, x \in F $
重复以上操作，找到 $ g_ {2}: X \to [0, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}] $使得
$ g_ {2}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{if } x \in F \text{且} f_ {1}(x) \le \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} & \text{if } x \in F \text{且} f_ {1}(x) \ge \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \end{array} \right. $
设 $ f_ {2} = f_ {1} - g_ {2} $且注意 $ 0 \le f_ {2}(x) \le (\frac{2}{3})^{2}, x \in F $
对归纳步骤，假设我们已定义一个函数 $ f_ {n}, 0 \le f_ {n}(x) \le (\frac{2}{3})^{n}, x \in F $。则找到 $ g_ {n+1}: X \to [0, (\frac{1}{3}) (\frac{2}{3})^{n}] $使得
$ g_ {n+1}(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & \text{if } x \in F \text{且} f_ {n}(x) \le (\frac{1}{3}) (\frac{2}{3})^{n} \\ ((\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^{n}) & \text{if } x \in F \text{且} f_ {n}(x) \ge (\frac{2}{3})(\frac{2}{3})^{n} \end{array} \right. $
设$ f_ {n+1} = f_ {n} - g_ {n+1} $
现在设 $ g(x) = \sum g_ {n} (x) $。这个系列统一收敛因为 $ 0 \le g_ {n}(x) \le (\frac{1}{3}) (\frac{2}{3})^{n-1} $。这样g是连续的
对 $ x \in F $我们有
$ f - g_ {1} = f_ {1} $
$ f_ {1} - g_ {2} = f_ {2} $
$ \cdots $
通过添加和消除我们获得
$ f - (g_ {1} + g_ {2} + \cdots + g_ {n}) = f_ {n} \qquad 0 \le f_ {n}(x) \le (\frac{2}{3})^{n} $
且用限制在F上g(x) = f(x)。明显地边界也是正确的
我们现在考虑无边界情况：
情况I: f在两个方向上f是无边界的
情况II: f的边界小于a
情况III: f有界大于b
设h为一个homeomorphism:
$ (- \infty, \infty) \to (0, 1) \qquad \text{在情况I} $
$ [a, \infty) \to [0, 1) \qquad \text{在情况II} $
$ (-\infty, b] \to (0, 1] \qquad \text{在情况III} $
则 $ h \circ f $边界为0、1且我们可扩展它到 $ g_ {1} $。如果我们排列 $ g_ {1}(x) $不为0，如果 $ h \circ f $不为0则 $ g = h^{-1} \circ g_ {1} $被定义且可扩展f
则设
$ C = \{x | g_ {1}(x) = 0 或1 \} \qquad \text{在情况I} $
$ C = \{x | g_ {1}(x) = 1\} \qquad \text{在情况II} $
$ C = \{x | g_ {1}(x) = 0\} \qquad \text{在情况III} $
则C是闭的且 $ C \cap F = \emptyset $，这样存在一个函数$ k: X \to [0, 1] $使得 $ k \equiv 0 $在C上且 $ k \equiv 1 $在F上。设 $ g_ {2} = k \cdot g_ {1} + (1 - k) \cdot \frac{1}{2} $。则 $ g_ {2} $也是在 $ g_ {1} $和 $ \frac{1}{2}, g_ {2} \ne g_ {1} $在C上。同样，$ g_ {2} = g_ {1} = h \circ f $在F上。这样 $ g = h^{-1} \circ g_ {2} $以预想的方式扩展了f
本地紧空间
有许多空间，最重要的是欧几里得空间，其不是紧的但包含足够的紧子空间，对空间本身来说有许多重要的属性
定义
一个拓扑空间被称为本地紧的如果每个点有一个紧的邻居关系
定理 如果X是本地紧的Hausdorff空间则一个点 $ x \in X $的每个邻居关系包含一个x的紧邻居关系。（x的紧邻居关系形成在x的一个邻居关系基）特别地，X是完全规范的
证明：设C为一个x的紧邻居关系且U是x的一个任意的邻居关系。设 $ V \subset C \cap U $为开的，$ x \in V $。则 $ \bar{V} \subset C $是紧Hausdorff且因此是规范的。这样存在一个x的邻居关系 $ N \subset V $在C中，其在 $ \bar{V} $中是闭的。因为N在紧空间C中是闭的，则它是紧的。因为N在 $ \bar{V} $中是x的一个邻居关系且因此 $ N = N \cap V $，N在开集V中是x的一个邻居关系，因此在X中
定理 设X为一个本地紧Hausdorff空间。设 $ X^{+} = X \cup \{ \infty \}, \infty $代表不在X中的某些点。定义$ X^{+} $上的一个开集要么是 $ X \subset X^{+} $上的一个开集要么是 $ X^{+} - C $上的一个开集，$ C \subset X $是紧的。然后这定义了一个 $ X^{+} $上的拓扑，使得 $ X^{+} $在一个紧Hausdorff空间称为X的一点紧。更进一步，$ X^{+} $上的这个拓扑是唯一的拓扑使得 $ X^{+} $是一个紧Hausdorff空间，X作为一个子空间
证明：整个空间 $ X^{+} $和 $ \emptyset $是开的。如果 $ V \subset X $是开的且 $ U = X^{+} - C, C \subset X $是紧的则 $ U \cap V = V - C $，其在X中是开的
对任意开集的并，设 $ U = \cup \{ U_ {\alpha} \} $。如果所有 $ U_ {\alpha} $是X的开子集则并是开的。如果一些 $ U_ {\beta} = X^{+} - C $则 $ X^{+} - U = \cap \{X^{+} - U_ {\alpha} \} = C \cap ( \cap \{X - U_ {\alpha} | \alpha \ne \beta \}) $，其在C中是闭的因此是紧的。这样，这是一个拓扑
假设 $ \{ U_ {\alpha} \} $是 $ X^{+} $上的一个开覆盖。这些集合中的一个，设为 $ U_ {\beta} $，包含 $ \{ \infty \} $。则 $ X - U_ {\beta} $是紧的，因此被一个有限的其他 $ U_ {\alpha} $的子收集覆盖。因此 $ X^{+} $是紧的
为看到 $ X^{+} $是Hausdorff的，从任意点 $ x \in X $分割 $ \infty $。设V为x的一个开邻居关系使得 $ \bar{V} \subset X $是紧的。这样 $ x \in V, \infty \in X - \bar{V} $提供了想要的分割
对唯一性，设 $ U \subset X^{+} $为某个这样的拓扑的一个开集。则 $ C = X^{+} - U $是闭的且因此是紧的。如果 $ C \subset X $则U是开的在描述的拓扑里。如果 $ C \not \subset X $则 $ U \subset X $且在X中必须为开集，因为X是一个子空间。这样，U是开的在描述的拓扑中。因为X是一个子空间，如果 $ U \subset X $在X中是开的，则 $ U = U^{\prime} \cap X $对 $ X^{+} $中某个 $ U^{\prime} $。但X是 $ X^{+} $上一个开子集因为在Hausdorff空间中点是闭的，这样 $ U = U^{\prime} \cap X $在 $ X^{+} $上是开的。接着，如果C在X中是紧的则在 $ X^{+} $上是紧的，因为紧性不依赖于包含的空间，且这样C在 $ X^{+} $上是闭的。则 $ X^{+} - C $在 $ X^{+} $上是开的
注意如果X已经是紧的，则 $ \infty $是$ X^{+} $中一个孤立点，且X在 $ X^{+} $上是闭开的
定理 假设X和Y是本地紧的，Hausdroff空间且 $ f: X \to Y $是连续的。则f是合适的 $ \Leftrightarrow $ f扩展到一个连续 $ f^{+}: X^{+} \to Y^{+} $，通过设置 $ f^{+}(\infty_ {X}) = \infty_ {Y} $
证明：$ \Rightarrow : f^{+} $ 存在作为一个函数，这样检测它的连续性。假设 $ U \subset Y^{+} $是开的。$ U \subset Y $则 $ (f^{+})^{-1}(U) = f^{-1}(U) $是开的。另一种情况，$ U = Y^{+} - C, C \subset Y $是紧的。则 $ (f^{+})^{-1}(U) = X^{+} - f^{-1}(C) $在 $ X^{+} $上是开的因为 $ f^{-1}(C) $是紧的，且因此是闭的
$ \leftarrow : $ 如果 $ f^{+} $存在则 $ (f^{+})^{-1}(\infty_ {Y}) = \{ \infty_ {X} \} $且这样 $ (f^{+})^{-1}(Y) = X $。如果 $ C \subset Y $是紧的则它是闭的且这样 $ f^{-1}(C) $在 $ X^{+} $上是闭的且因此是紧的且包含在X中。这样f是适合的
命题 如果 $ f: X \to Y $是一个适合的映射在本地紧Housdorff空间之间，则f是闭的
证明：有一个扩展 $ f^{+}: X^{+} \to Y^{+} $。如果 $ F \subset X $是在X中是闭的则 $ F \cup \{ \infty \} $在 $ X^{+} $上是闭的且因此是紧的。结果，$ f^{+}(F \cup \{ \infty \}) $是紧的，且因此在 $ Y^{+} $上是闭的。但 $ f(F) = f^{+}(F \cup \{\infty\}) \cap Y $在Y中是闭的
定义 一个拓扑空间中的子空间A被称为本地闭的如果对每个点 $ a \in A $有一个开邻居关系 $ U_ {a} $使得 $ U_ {a} \cap A $在 $ U_ {a} $上是闭的
命题 一个子空间 $ A \subset X $是本地闭的 $ \Leftrightarrow $ 它有形如 $ A = C \cap U $，U在X中是开的且C在X中是闭的
证明 $ U = \cup \{ U_ {a} | a \in A\} $，是开的，$ C = \bar{A} $是闭的，则
$ C \cap U = \bar{A} \cap (\cup U_ {a}) = \cup (\bar{A} \cap U_ {a}) = \cup (A \cap U_ {a}) = A \cap U = A $
定理 对一个Hausdorff空间X如下条件相当：
(1) X是本地紧的
(2) X是一个紧Hausdorff空间的本地紧子空间
(3) X是一个本地紧Hausdorff空间的本地紧子空间
证明 如果X是本地紧的则它是它的一个点紧的开子空间。则(1) $ \Rightarrow $ (2)。明显地，(2) $ \Rightarrow $ (3)。如果 $ Y \supset X $ 是本地紧且 $ X = C \cap U, C \subset Y $是紧的且 $ U \subset Y $是开的，则C是本地紧的，且 $ X = U \cap C $在C上是开的且因此也是本地紧的，这样(3) $ \Rightarrow $ (1)
下面的结果建议问题什么时候一个拓扑空间X可被嵌入到一个紧的、Hausdroff空间Y（作为一个子空间）。因为Y是正常的，它也是完全正规的。因为一个完全正规空间的子空间是完全正规的，则有X必须完全正规
如果X是一个完全正规空间，考虑所有映射 $ f: X \to [0, 1] $的集合F，定义
$ \Phi: X \to [0, 1]^{F} = \times \{[0,1] | f \in F\} $
通过 $ \Phi(x)(f) = f(x) $（这里我们视 $ [0, 1]^{F} $的一个元素为一个函数 $ F \to [0, 1] $）
定义 如果X是一个完全正规空间，且 $ \Phi: X \to [0,1]^{F} $如上定义则 $ \Phi(X) $的闭被称为X的Stone-Cech紧且记为 $ \beta(X) $
定理 如果X是一个完全正规空间，则 $ \beta(X) $是紧Hausdorff且 $ \Phi: X \to \beta(X) $是一个嵌入
证明 函数 $ \Phi $是1对1的，因为如果 $ \Phi(x) = \Phi(y) $，则f(x) = f(y)对所有映射 $ f: X \to [0, 1] $且这意味着x = y通过完全正规性
为证明连续性，设 $ x_ {a} $为X中一个net收敛到x。则
$ \lim (\Phi(x_ {\alpha})(f)) = \lim (f(x_ {\alpha})) = f(x) = \Phi(x)(f) $
对所有映射 $ f: X \to [0,1] $。这意味着 $ \lim \Phi(x_ {\alpha}) = \Phi(x) $
对连续性的反转，假设 $ \{x_ {\alpha} \} $是X中一个net使得 $ \Phi(x_ {\alpha}) $收敛到 $ \Phi(x) $。则，对所有映射 $ f: X \to [0, 1] $，
$ \lim (f(x_ {\alpha})) = \lim (\Phi(x_ {\alpha})(f)) = \Phi(x)(f) = f(x) $
如果 $ x_ {\alpha} $不收敛到x则有一个x的邻接关系使得 $ x_ {\alpha} $频繁在X - U。但映射 $ f: X \to [0, 1] $0在x且1在X - U。这样 $ f(x_ {\alpha}) $频繁为1，而 f(x) = 0 跟 $ f(x_ {\alpha}) $收敛到f(x)矛盾
定理 如果X是完全正规的且 $ f: X \to R $是一个有界实值映射，则f可唯一扩展到一个映射 $ \beta(X) \to R $
证明 处理f的象在[0, 1]的情况。考虑函数 $ \bar{f}: [0, 1]^{F} \to R $被定义为 $ \bar{f}(\mu) = \mu(f) $。如果 $ \{ \mu_ {\alpha} \} $是一个net在 $ [0, 1]^{F} $中收敛到 $ \mu $则
$ \lim (\bar{f}(\mu_ {\alpha})) = \lim (\mu_ {\alpha}(f)) = \mu(f) = \bar{f}(\mu) $
显示了 $ \bar{f} $是连续的
Paracompact空间
如果U和V是一个空间的开覆盖则U被称为V的一个refinement如果U的每个元素是V的某个元素的子集
一个拓扑空间X的子集的一个收集被称为本地有限的如果 $ x \in X $中的每个点有一个邻居关系N，只是U的有限数目的成员
定义 一个Hausdroff空间X被称为paracompact如果每个X的开覆盖有一个开的、本地有限的refinement
命题 一个paracompact空间的闭子空间是paracompact
证明 如果A是paracompact空间X的一个闭子空间，在X中一个系列的开覆盖A。丢掉X - A集合。用X的这个开覆盖的一个本地有限refinement，且和A交它。这给出了一个A的原始覆盖的一个本地有限refinement
定理 一个paracompact空间是normal的
证明 我们将首先显示paracompact空间X是规范的。这样假设 $ x \in X $且 $ C \subset X $是闭的且 $ x \notin C $。对每个点 $ y \in C $有不相交开集合 $ U_ {y}, V_ {y}, x \in U_ {y}, y \in V_ {y} $。用X - C和集合 $ V_ {y} $覆盖X。则有一个开的本地有限refinement，为集合 $ U_ {\alpha} $。设 $ U = \cup \{U_ {\alpha} | U_ {\alpha} \subset 一些V_ {y} \} $且注意这包含C。因为这是一个本地有限收集，它的闭 $ \bar{U}_ {\alpha} $是一些 $ U_ {\alpha} $的闭的并。但x不在任意 $ \bar{U}_ {\alpha} $中这样 $ x \notin \bar{U} $。这样U 和 $ X - \bar{U} $提供了需要的隔离
同样的讨论，对C扮演x的角色且其他闭集合扮演C的角色，显示X是normal的
这样paracompact空间是闭的为度量空间因为所有需要是第二统计的。同时，这个度量空间是paracompact的。然而，这些paracompact空间不可度量。也有paracompact空间的例子有非paracompact的子空间，当然，这在可度量空间中不会发生
normality意味着一个paracompact空间有许多实值映射，我们将采用一个属性
定义 如果f是一个实值映射则f的支持是
$ support(f) = 闭 \{x | f(x) \ne 0 \} $
定义 设 $ \{U_ {\alpha} | \alpha \in A \} $为空间X的一个开覆盖。则这个覆盖的单位subordinate的一个分区是映射的一个收集
$ \{f_ {\beta}: X \to [0, 1] | \beta \in B \}
使得
(1) 有一个本地开refinement $ \{ V_ {\beta} | \beta \in B\} $使得 $ support(f_ {\beta}) \subset V_ {\beta} $对所有 $ \beta \in B $，且
(2) $ \sum_ {\beta}f_ {\beta}(x) = 1 $对每个 $ x \in X $