Table of Contents
- Cyclic Suubspaces and Annihilators
- Cyclic Decompositions and the Rational Form
- The Jordan Form
- Computation of Invariant Factors
- Summary; Semi-Simple Operators
Cyclic Suubspaces and Annihilators
定义 如果 $ \alpha $是V中任意向量，则$ \alpha $产生的T-cyclic子空间是形如 $ g\left(T\right) \alpha $的所有向量的子空间$ Z\left(\alpha; T\right), g \in F[x] $。如果 $ Z\left(\alpha; T\right) = V $，则 $ \alpha $被称为T的一个cyclic向量
定义 如果 $ \alpha $是V中任意向量，则$ \alpha $的T-annihilator是ideal 在F[x]中的$ M\left(\alpha; T\right) $包含域F上所有polynomials g使得 $ g\left(T\right) \alpha = 0 $。产生这个ideal的唯一monic polynomial也被称为 $ \alpha $的 T-annihilator
定理 1 设 $ \alpha $为V上任意非零向量且设 $ p_ {\alpha} $为 $ \alpha $的T-annihilator
(i) $ p_ {\alpha} $的degree与cyclic子空间 $ Z\left(\alpha; T\right) $ 的维数相同
(ii)如果 $ p_ {\alpha} $的degree为k，则向量 $ \alpha, T\alpha, T^{2}\alpha, \ldots, T^{k-1}\alpha $形成 $ Z\left(\alpha; T\right) $的一个基
(iii)如果U是由T引导的 $ Z\left(\alpha; T\right) $上的线性算子，则U的minimal polynomial为 $ p_ {\alpha} $
让我们看一下线性算子U在k维空间W上有一个cyclic向量 $ \alpha $。通过定理1，向量 $ \alpha, \ldots, U^{k-1}\alpha $形成空间W的一个基，且 $ \alpha $ 的annihilator $ p_ {\alpha} $是U的minimal polynomial（因此也是U的特征polynomial）。如果我们设 $ \alpha_ {i} = U^{i-1} \alpha, i = 1, \ldots, k $，则U在有序基 $ \mathcal{B} = \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {k} \} $上的行为是
$ \begin{equation} U_ {\alpha_ {i}} = \alpha_ {i+1}, \qquad i = 1, \ldots, k - 1 \end{equation} $
$ \begin{equation} U_ {\alpha_ {k}} = -c_ {0}\alpha_ {1} - c_ {1} \alpha_{2} - \cdots = c_ {k-1}\alpha_ {k} \end{equation} $
其中 $ p_ {\alpha} = c_ {0} + c_ {1}x + \cdots + c_ {k-1}x^{k-1} + x^{k} $。$ U_ {\alpha_ {k}} $表达式根据 $ p_ {\alpha}\left(U\right) \alpha = 0 $有
$ \begin{equation} U^{k} \alpha + c_ {k-1}U^{k-1}\alpha + \cdots + c_ {1}U\alpha + c_ {0} \alpha = 0 \end{equation} $
即U在有序基 $ \mathcal{B} $下的矩阵为
$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_ {0} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_ {1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -c_ {2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_ {k - 1} \end{array} \right] \end{equation} $
该矩阵被称为monic polynomial $ p_ {\alpha} $的伴随矩阵
定理 2 如果U是有限维空间W上的线性算子，则U有一个cyclic向量当且仅当有一个W的有序基，则U以U的minimal polynomial的伴随矩阵的形式呈现
推论 如果A是一个monic polynomial p的伴随矩阵，则p是A的minimal和特征polynomial
Cyclic Decompositions and the Rational Form
定义 设T为向量空间V上的一个线性算子且设W为V的一个子空间，我们说W是T-admissible如果
(1) W在T下是invariant的
(2) 如果 $ f\left(T\right) \beta $在W中，存在一个W中的向量 $ \gamma $使得 $ f\left(T\right) \beta = f\left(T\right) \gamma $
定理 3(Cyclic Decomposition Theorem) 设T为有限维向量空间V上的一个线性算子且设 $ W_ {0} $为V的一个T-admissible子空间，则V中存在非零向量 $ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} $，对应T-annihilators $ p_ {1}, \ldots, p_ {r} $使得
(i) $ V = W_ {0} \oplus Z\left(\alpha_ {1}; T\right) \oplus \cdots \oplus Z\left(\alpha_ {r}; T\right) $
(ii) $ p_ {k-1} 整除 p_ {k}, k = 2, \ldots, r $
更进一步，整数r和annihilators $ p_ {1}, \ldots, p_ {r} $被(i)和(ii)唯一决定且没有 $ \alpha_ {k} $为0
证明：证明非常长，因此我们将把它分为4个步骤。第一次看的时候容易设 $ W_ {0} = \{ 0 \} $，虽然它不产生任意重要的简化。在证明过程中，我们将缩写 $ f\left(T\right) \beta 为 f\beta $
步骤1: V中存在非零向量 $ \beta_ {1}, \ldots, \beta_ {r} $使得
(a) $ V = W_ {0} + Z\left(\beta_ {1}; T\right) + \cdots + Z\left(\beta_ {r}; T\right) $
(b) 如果 $ 1 \le k \le r $且
$ \begin{equation} W_ {k} = W_ {0} + Z\left(\beta_ {1};T\right) + \cdots + Z\left(\beta_ {k}; T\right) \end{equation} $
则conductor $ p_ {k} = s\left(\beta_ {k}; W_ {k-1}\right) $在所有T-conductors到子空间 $ W_ {k-1} $中有最大的degree，例如，对每个k
$ \begin{equation} \operatorname{deg} p_ {k} = max_ {\alpha \in V} \operatorname{deg} s\left(\alpha; W_ {k-1}\right) \end{equation} $
这一步只依赖 $ W_ {0} $是一个invariant子空间
如果W是一个适当的T-invariant子空间，则
$ \begin{equation} 0 < max_ {\alpha} \operatorname{deg} s\left(\alpha; W\right) \le \operatorname{dim} V \end{equation} $
我们可以选择一个向量 $ \beta $使得 $ \operatorname{deg} s\left(\beta; W\right) $为最大。子空间 $ W + Z\left(\beta; T\right) $是T-invariant且维数比 $ \operatorname{dim} W $大。应用这个处理到 $ W = W_ {0} $来获得 $ \beta_ {1} $。如果 $ W_ {1} = W_ {0} + Z\left(\beta_ {1}; T\right) $依然是适当的，则应用该处理到 $ W_ {1} $来获得 $ \beta_ {2} $。继续该过程。因为 $ \operatorname{dim} W_ {k} > \operatorname{dim} W_ {k-1} $我们必须达到 $ W_ {r} = V $在不超过 $ \operatorname{dim} V $个步骤。
步骤2: 设 $ \beta_ {1}, \ldots, \beta_ {r} $为非零向量满足步骤1中的条件(a)和(b)。固定k，$ 1 \le k \le r $。设 $ \beta $为V中任意向量且设 $ f = s\left(\beta; W_ {k-1}\right) $。如果
$ \begin{equation} f \beta = \beta_ {0} + \sum_ {1 \le i < k} g_ {i}\beta_ {i}, \qquad \beta_ {i} \in W_ {i} \end{equation} $
则每个polynomial $ g_ {i} $整除f且 $ \beta_ {0} = f_ {\tau_ {0}}, \tau_ {0} \in W_ {0} $
如果k = 1，这即是说 $ W_ {0} $是T-admissible的。为了证明k > 1的情形，应用如下除数算法；
$ \begin{equation} g_ {i} = fh_ {i} + r_ {i}, \qquad r_ {i} = 0 \quad 或 \quad \operatorname{deg} r_ {i} < \operatorname{deg} f \end{equation} $
我们希望显示对每个i有 $ r_ {i} = 0 $，设
$ \begin{equation} \tau = \beta - \sum_ {1}^{k-1}h_ {i}\beta_ {i} \end{equation} $
因为 $ \tau - \beta $在 $ W_ {k-1} $中，
$ \begin{equation} s\left(\tau; W_ {k-1}\right) = s\left(\beta; W_ {k-1}\right) = f \end{equation} $
更进一步
$ \begin{equation} f \tau = \beta_ {0} + \sum_ {1}^{k-1}r_ {i}\beta_ {i} \end{equation} $
假设一些 $ r_ {i} $不为0，我们将导出一个矛盾
设j为最大的下标i，$ r_ {i} \ne 0 $，则
$ \begin{equation} f \tau = \beta_ {0} + \sum_ {1}^{j} r_ {i} \beta_ {i}, \qquad r_ {j} \ne 0 且 \operatorname{deg} r_ {j} < \operatorname{deg} f \end{equation} $
设 $ p = s\left(\tau; W_ {j-1}\right) $。因为 $ W_ {k-1} $包含 $ W_ {j-1} $，conductor $ f = s\left(\tau; W_ {k-1}\right) $必须整除p:
$ \begin{equation} p = fg \end{equation} $
对两边应用g(T)，得到
$ \begin{equation} p \tau = gf \tau = g r_ {j} \beta_ {j} + g \beta_ {0} + \sum_ {1 \le i < j} gr_ {i} \beta_ {i} \end{equation} $
使用定义，$ p \tau $在 $ W_ {j-1} $中，且右边最后两项也在 $ W_ {j-1} $中，因此，$ gr_ {j} \beta_ {j} $在 $ W_ {j-1} $中，现在我们使用步骤1的条件(b)：
$ \begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{deg}\left(gr_ {j}\right) & \ge \operatorname{deg} s\left(\beta_ {j}; W_ {j-1}\right) \\ &= \operatorname{deg} p_ {j} \\ &\ge \operatorname{deg} s\left(\tau; W_ {j-1}\right) \\ &= \operatorname{deg} p \\ &= \operatorname{deg}\left(fg\right) \end{aligned} \end{equation} $
这样 $ \operatorname{deg}r_ {j} \ge \operatorname{deg}f $，这跟j的选择矛盾。我们现在知道f整除每个 $ g_ {i} $且因此 $ \beta_ {0} = f \tau $。因为 $ W_ {0} $是T-admissible的，当 $ \tau_ {0} $在 $ W_ {0} $中时 $ \beta_ {0} = f \tau_ {0} $。我们通过步骤2重新标识一个直接形式的断言即每个子空间 $ W_ {1}, W_ {2}, \ldots, W_ {r} $是T-admissible的
步骤3：在V中存在非零向量 $ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} $满足定理3的条件(i)和(ii)
像步骤1一样设置向量 $ \beta_ {1}, \ldots, \beta_ {r} $，固定k，$ 1 \le k \le r $。我们应用步骤2到向量 $ \beta = \beta_ {k} $且T-conductor $ f = p_ {k} $。我们获得
$ \begin{equation} p_ {k}\beta_ {k} = p_ {k}\tau_ {0} + \sum_ {1 \le i < k}p_ {k}h_ {i}\beta_ {i} \end{equation} $
$ \tau_ {0} 在W_ {0} $中且 $ h_ {1}, \ldots, h_ {k-1} $是polynomials。设
$ \begin{equation} a_ {k} = \beta_ {k} - \tau_ {0} - \sum_ {1 \le i < k} h_ {i} \beta_ {i} \end{equation} $
因为 $ \beta_ {k} - \alpha_ {k} $在 $ W_ {k-1} $中，
$ \begin{equation} s\left(\alpha_ {k}; W_ {k-1}\right) = s\left(\beta_ {k}; W_ {k-1}\right) = p_ {k} \end{equation} $
且因为 $ p_ {k} \alpha_ {k} = 0 $，我们有
$ \begin{equation} W_ {k-1} \cap Z\left(\alpha_ {k}; T\right) = \{ 0 \} \end{equation} $
因为每个 $ \alpha_ {k} $满足上面两个公式，有
$ \begin{equation} W_ {k} = W_ {0} \oplus Z\left(\alpha_ {1}; T\right) \oplus \cdots \oplus Z\left(\alpha_ {k}; T\right) \end{equation} $
且 $ p_ {k} $是 $ \alpha_ {k} $的T-annihilator。即向量 $ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} $定义了如向量 $ \beta_ {1}, \ldots, \beta_ {r} $一样顺序的子空间 $ W_ {1}, W_ {2}, \ldots $且T-conductors $ p_ {k} = s\left(\alpha_ {k}, W_ {k-1}\right) $有相同的最大化属性（步骤1的条件(b)）。向量 $ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} $有额外属性即子空间 $ W_ {0}, Z\left(\alpha_ {1}; T\right), Z\left(\alpha_ {2}; T\right), \ldots $是独立的。因此容易验证定理3的条件(ii)。因为对每个i， $ p_ {i} \alpha_ {i} = 0 $，我们有如下关系：
$ \begin{equation} p_ {k} \alpha_ {k} = 0 + p_ {1} \alpha_ {1} + \cdots + p_ {k-1}\alpha_ {k-1} \end{equation} $
应用步骤2的 $ \beta_ {1}, \ldots, \beta_ {k} $替代 $ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {k} $及 $ \beta = \alpha_ {k} $。结论：$ p_ {k} $整除每个 $ p_ {i}, i < k $
步骤4：数字r和polynomials $ p_ {1}, \ldots, p_ {r} $被定理3的条件唯一决定
假设对定理3的向量 $ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} $我们有非零向量 $ \tau_ {1}, \ldots, \tau_ {s} $对应T-annihilators $ g_ {1}, \ldots, g_ {s} $使得
$ \begin{equation} V = W_ {0} \oplus Z\left(\tau_ {1}; T\right) \oplus \cdots \oplus Z\left(\tau_ {s}; T\right) \end{equation} $
$ \begin{equation} g_ {k} 整除 g_ {k-1}, \qquad k = 2, \ldots, s \end{equation} $
我们将显示对每个i，有r = s且 $ p_ {i} = g_ {i} $
容易看到 $ p_ {1} = g_ {1} $，polynomial $ g_ {1} $作为V到 $ W_ {0} $的T-conductor而确定的。设 $ S\left(V; W_ {0} \right) $为polynomial f的集合使得对V中每个 $ \beta $，$ f \beta $ 在 $ W_ {0} $中，例如polynomials f使得 $ f\left(T\right) $的range 包含在 $ W_ {0} $中。则 $ S\left(V; W_ {0}\right) $ 在polynomial代数中是非零ideal。polynomial $ g_ {1} $是该ideal的nomic生成器。对V中每个 $ \beta $有形式
$ \begin{equation} \beta = \beta_ {0} + f_ {1}\tau_ {1} + \cdots + f_ {s}\tau_ {s} \end{equation} $
且 $ \begin{equation} g_ {1} \beta = g_ {1}\beta_ {0} + \sum_ {1}^{s}g_ {1}f_ {i} \tau_ {i} \end{equation} $
因为每个 $ g_ {i} $整除 $ g_ {1} $，我们有对所有i, $ g_ {1}\tau_ {i} = 0且 g_ {1} \beta = g_ {1} \beta_ {0} \in W_ {0} $。这样 $ g_ {1} $在 $ S\left(V; W_ {0}\right) $中。因为 $ g_ {1} $是最小degree的monic polynomial把 $ \tau_ {1} $送到 $ W_ {0} $，我们看到 $ g_ {1} $是在ideal $ S\left(V; W_ {0}\right) $中最小degree的monic polynomial。通过相同的讨论，$ p_ {1} $是该ideal的生成器，所以 $ p_ {1} = g_ {1} $
如果f是一个polynomial且W是V的子空间，我们将使用 fW为W中对 $ \alpha $的所有向量 $ f \alpha $的集合。
现在我们继续推导使得 $ r = s 且 p_ {i} = g_ {i}, i = 2, \ldots, r $。我们将给出证明如果 $ r \ge 2 $则 $ p_ {2} = g_ {2} $。假设 $ r \ge 2 $，则
$ \begin{equation} \operatorname{dim} W_ {0} + \operatorname{dim} Z\left(\alpha_ {1}; T\right) < \operatorname{dim} V \end{equation} $
因为我们知道 $ p_ {1} = g_ {1} $，我们知道 $ Z\left(\alpha_ {1}; T\right) 和 Z\left(\tau_ {1}; T\right) $有相同的维数。因此
$ \begin{equation} \operatorname{dim} W_ {0} + \operatorname{dim} Z\left(\tau_ {1}; T\right) < \operatorname{dim} V \end{equation} $
其显示 $ s \ge 2 $。从这两个V的分解，我们获得子空间 $ p_ {2}V $的两个分解：
$ \begin{equation} p_ {2} V = p_ {2} W_ {0} \oplus Z\left(p_ {2}\alpha_ {1}; T\right) \end{equation} $
$ \begin{equation} p_ {2} V = p_ {2} W_ {0} \oplus Z\left(p_ {2}\tau_ {1}; T\right) \oplus \cdots \oplus Z\left(p_ {2}\tau_ {s}; T\right) \end{equation} $
由之前的事实我们知道 $ Z\left(p_ {2}\alpha_ {1}; T\right)和 Z\left(p_ {2}\tau_ {1}; T\right) $有相同的维数。因此，有
$ \begin{equation} \operatorname{dim} Z\left(p_ {2}\tau_ {i}; T\right) = 0, \qquad i \ge 2 \end{equation} $
我们得到 $ p_ {2} \tau_ {2} = 0 且 g_ {2} 整除 p_ {2} $。同样也可以推得 $ p_ {2} 整除 g_ {2} $，因此有 $ p_ {2} = g_ {2} $
推论 如果T是有限维向量空间中的一个线性算子，则每个T-admissible子空间有一个补集子空间，其在T下也是invariant的
推论 设T为有限维向量空间V上的一个线性算子
(a) 在V中存在一个向量 $ \alpha $使得 $ \alpha $的T-annihilator是T的minimal polynomial
(b) T有一个cyclic向量当且仅当T的特征和minimal polynomial是相同的
定理 4(Generalized Cayley-Hamilton Theorem) 设T为有限维向量空间V上的一个线性算子，设p和f为T的minimal和特征polynomials
(i) p整除f
(ii) p和f有相同的质因素，除了因素次数
(iii) 如果
$ \begin{equation} p = f_ {1}^{T_ {1}} \cdots f_ {k}^{T_ {k}} \end{equation} $
是p的质因素，则
$ \begin{equation} f = f_ {1}^{d_ {1}} \cdots f_ {k}^{d_ {k}} \end{equation} $
$ d_ {i} $是$ f_ {i}\left(T\right)^{r_ {i}} $的nullity被 $ f_ {i} $的degree整除
现在让我们看一下cyclic分解定理的矩阵形式。如果我们有算子T和定理3的直和分解，设 $ \mathcal{B}_ {i} 为 Z\left(\alpha_ {i}; T\right) $的cyclic有序基
$ \begin{equation} \{ \alpha_ {i}, T \alpha_ {i}, \ldots, T^{k_ {i} - 1} \alpha_ {i} \} \end{equation} $
$ k_ {i} 记为 Z\left(\alpha_ {i}; T\right) $的维数，即annihilator $ p_ {i} $的degree。在有序基 $ \mathcal{B}_ {i} $上的算子 $ T_ {i} $对应的矩阵是 $ p_ {i} $的伴随矩阵。设 $ \mathcal{B} $为V的有序基为 $ \mathcal{B}_ {i} $的联合以这样的顺序排列 $ \mathcal{B}_ {1}, \ldots, \mathcal{B}_ {r} $，则T在有序基 $ \mathcal{B} $下的矩阵为
$ \begin{equation} A = \left[ \begin{array}{ccc} A_ {1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_ {2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_ {r} \end{array} \right] \end{equation} $
$ A_ {i} 是 k_ {i} \times k_ {i} 的p_ {i} $ 的伴随矩阵，这样的 $ n \times n $矩阵A是非常量monic polynomials $ p_ {1}, \ldots, p_ {r} $的伴随矩阵的直和使得 $ p_ {i} 整除 p_ {i+1}, i = 1, \ldots, r - 1 $，我们说A为rational form。
定理 5 设F为一个域且设B为F上一个 $ n \times n $的矩阵。则B在域F上跟唯一一个rational form的矩阵相似
The Jordan Form
假设T是V上的一个线性算子且F上的T的特征polynomial因子如下：
$ \begin{equation} f = \left(x - c_ {1}\right)^{d_ {1}} \cdots \left(x - c_ {k}\right)^{d_ {k}} \end{equation} $
$ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $是F上不同的元素且 $ d_ {i} \ge 1 $。则T的minimal polynomial为
$ \begin{equation} f = \left(x - c_ {1}\right)^{r_ {1}} \cdots \left(x - c_ {k}\right)^{r_ {k}} \end{equation} $
$ 1 \le r_ {i} \le d_ {i} $。如果 $ W_ {i} $是 $ \left(T - c_ {i}I\right)^{r_ {i}} $的null space，则主分解定理告诉我们
$ \begin{equation} V = W_ {1} \oplus \cdots \oplus W_ {k} \end{equation} $
且由T在 $ W_ {i} $导入的算子 $ T_ {i} $有minimal polynomial $ \left(x - c_ {i}\right)^{r_ {i}} $。设 $ N_ {i} $为 $ W_ {i} $上的线性算子 $ N_ {i} = T_ {i} - c_ {i} I $。则 $ N_ {i} $是nilpotent且有minimal polynomial $ x^{r_ {i}} $。在 $ W_ {i} $上，T跟 $ N_ {i} $加上一个常量 $ c_ {i} $乘以单位算子相当。假设我们选择子空间 $ W_ {i} $的一个基对应nilpotent算子 $ N_ {i} $的cyclic分解。则 $ T_ {i} $的矩阵在这个有序基下为矩阵的直和
$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{ccc} c & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & c & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ & & & c & \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c \end{array} \right] \end{equation} $
$ c = c_ {i} $。更进一步，这些矩阵的大小将从左到右减少。上图矩阵被称为带特征值c的elementary Jordan矩阵。现在如果我们把所有的 $ W_ {i} $的基放一块，我们获得V的一个有序基。让我们描述这个有序基的T的矩阵A
矩阵A为矩阵 $ A_ {1}, \ldots, A_ {k} $的直和
$ \begin{equation} A = \left[ \begin{array}{ccc} A_ {1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_ {2} & \cdots \ 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_ {k} \end{array} \right] \end{equation} $
该form的每个 $ A_ {i} $为
$ \begin{equation} A_ {i} = \left[ \begin{array}{ccc} J_ {1}^{\left(i\right)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_ {2}^{\left(i\right)} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_ {n_ {i}}^{\left(i\right)} \end{array} \right] \end{equation} $
每个 $ J_ {j}^{\left(i\right)} $是一个带特征值 $ c_ {i} $的elementary Jordan矩阵，矩阵 $ J_ {j}^{\left(i\right)} $的大小随着j的增长而减少。一个 $ n \times n $ 矩阵A满足本段内容（一些不同的常量 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $）提及的所有条件被称为Jordan form
我们已指出如果T是一个线性算子其特征polynomial因子完全在常量域上，则有一个V的有序基使得T的表达矩阵为Jordan form。我们将显示这个矩阵对T是唯一的，即如果两个Jordan form形式的矩阵是相似的，则它们仅是常量 $ c_ {i} $的顺序不同
假设有V的某个有序基，T表达为Jordan矩阵A，如果 $ A_ {i} $是一个 $ d_ {i} \times d_ {i} $的矩阵，则 $ d_ {i} $是 $ c_ {i} $的次数作为A的特征polynomial的根，即T的特征polynomial是
$ \begin{equation} f = \left(x - c_ {1}\right)^{d_ {1}} \cdots \left(x - c_ {k}\right)^{d_ {k}} \end{equation} $
这显示 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} 和 d_ {1}, \ldots, d_ {k} $是唯一的。A是矩阵 $ A_ {i} $的直和这个事实给我们一个在T上不变的直和分解 $ V = W_ {1} \oplus \cdots \oplus W_ {k} $。现在注意 $ W_ {i} 为 \left(T - c_ {i}I\right)^{n} $的null space，$ n = dim V；\quad A_ {i} - c_ {i} I $ 是nilpotent且 $ A_ {j} - c_ {i}I $是non-singular如果 $ j \ne i $。这样我们看到子空间 $ W_ {i} $是唯一的。如果 $ T_ {i} $是T在 $ W_ {i} $上导出的算子，则矩阵 $ A_ {i} $是唯一确定的rational form $ \left(T_ {i} - c_ {i}I\right) $
现在我们希望做一些更进一步的观察关于算子T和T在某个有序基下的表达式Jordan矩阵A。我们列出一些观察：
(1) A的每个元素不在或主对角之下的都为0。在A的对角线上有T的k个不同的特征值 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $。$ c_ {i} $重复 $ d_ {i} $次，$ d_ {i} $是 $ c_ {i} $作为特征polynomial根的次数，例如，$ d_ {i} = \operatorname{dim} W_ {i} $
(2) 对每个i，矩阵 $ A_ {i} $是特征值 $ c_ {i} $的 $ n_ {i} $个elementary Jordan矩阵 $ J_ {j}^{\left(i\right)} $的直和。$ n_ {i} $是特征值 $ c_ {i} $的特征向量空间的维数。 $ n_ {i} $是rational form $ \left(T_ {i} - c_ {i} I \right) $的elementary nilpotent块的个数，且跟 $ \left(T - c_ {i}I \right) $的null space的维数相同。特别地注意到T是可对角化的当且仅当对每个i有 $ n_ {i} = d_ {i} $
(3) 对每个i，矩阵A中第一个块 $ J_ {1}^{\left(i\right)} $是 $ r_ {i} \times r_ {i} $矩阵，$ r_ {i} $是 $ c_ {i} $作为T的minimal polynomial根的次数，即nilpotent算子 $ \left(T - c_ {i}I \right) $的minimal polynomial为 $ x^{r_ {i}} $
如果B是域F上 $ n \times n $的矩阵且如果B在F下有完全的特征polynomial因子，则B在F上跟一个Jordan form的 $ n \times n $矩阵A相似，且A重排列它的特征值顺序后是唯一的。我们称A是B的Jordan form
Computation of Invariant Factors
假设A时一个 $ n \times n $的矩阵，其元素都在域F中，我们希望找到一个方法计算A的rational form定义的不变因子 $ p_ {1}, \ldots, p_ {r} $。让我们用最简单的例子开始，A是monic polynomial的伴随矩阵
$ \begin{equation} p = x^{n} + c_ {n-1}x^{n-1} + \cdots + c_ {1}x + c_ {0} \end{equation} $
我们知道p是伴随矩阵的monimal和特征polynomial，现在，我们想要给出一个直接的计算显示p是A的特征polynomial。在这个例子中，
$ \begin{equation} xI - A = \left[ \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 & \cdots & 0 & c_ {0} \\ -1 & x & 0 & \cdots & 0 & c_ {1} \\ 0 & -1 & x & \cdots & 0 & c_ {2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & c_ {n-2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x + c_ {n-1} \end{array} \right] \end{equation} $
添加x倍的n行到(n - 1)行，这将消除(n - 1, n - 1)处的x且不改变行列式。然后，添加x倍新的(n - 1)行到(n - 2)行，一直继续直到所有主对角线上的x都被移除。结果为
$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^{n} + \cdots + c_ {1}x + c_ {0} \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^{n-1} + \cdots + c_ {2}x + c_ {1} \\ 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & x^{n-2} + \cdots + c_ {3} x + c_ {2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^{2} + c_ {n-1} x + c_ {n-2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x + c_ {n-1} \end{array} \right] \end{equation} $
然后我们得到 $ p = \operatorname{det}\left(xI - A\right) $
定理 7 设M和N为 $ m \times n $矩阵，元素都在polynomial algebra F[x}中，则N跟M相当当且仅当
$ \begin{equation} N = PMQ \end{equation} $
P是一个在 $ F[x]^{m \times m} $上的可逆矩阵，Q是一个在 $ F[x]^{n \times n} $上的可逆矩阵
定理 8 设A为 $ n \times n $矩阵，元素都在域F上，且设 $ p_ {1}, \ldots, p_ {r} $为A的不变因子。矩阵xI - A相当于 $ n \times n $的对角矩阵，对角元素为 $ p_ {1}, \ldots, p_ {r}, 1, 1, \ldots, 1 $
定义 设N为 $ F[x]^{m \times n} $上的矩阵，我们说N是（Smith）normal form 如果
(a) N主对角线下的每个元素都是0
(b) N的主对角线上出现（顺序）的polynomials $ f_ {1}, \ldots, f_ {l} 使得 f_ {k} 整除 f_ {k+1}, 1 \le k \le l - 1 $
定理 9 设M为元素在polynomial algebra F[x]上的 $ m \times n $矩阵，则M相当于normal form 矩阵N
定义 设M为元素在F[x]上的一个 $ m \times n $矩阵，如果 $ 1 \le k \le min\left(m, n\right) $，我们定义 $ \delta_ {k}\left(M\right) $为M所有 $ k \times k $子矩阵的行列式的最大公约数
定理 10 如果M和N是元素在F[x]上相当的 $ m \times n $矩阵，则
$ \begin{equation} \delta_ {k}\left(M\right) = \delta_ {k}\left(N\right), \qquad \qquad 1 \le k \le min\left(m, n\right) \end{equation} $
推论 $ F[x]^{m \times n} $上的每个矩阵相当于一个normal form 矩阵N，N主对角线上的polynomials $ f_ {1}, \ldots, f_ {l} $为
$ \begin{equation} f_ {k} = \frac{\delta_ {k}\left(M\right)}{\delta_ {k-1}\left(M\right)}, \qquad \qquad 1 \le k \le min\left(m, n\right) \end{equation} $
为方便起见，我们定义 $ \delta_ {0}\left(M\right) = 1 $
Summary; Semi-Simple Operators
定义 设V为域F上的有限维向量空间，设T为V上的线性算子。我们说T是semi-simple的如果每个T-invariant子空间有一个补的T-invariant子空间
我们将证明的是，在域F上的某些限制下，每个线性算子T唯一表达为形式T = S + N，S是semi-simple的，N是nilpotent的，且SN = NS。首先，我们通过它们的minimal polynomials来特征semi-simple算子，且这个特征将给我们展示，当F是代数闭合的，一个算子是semi-simple的当且仅当它是可对角化的
引理 设T为有限维向量空间V上的一个线性算子，设 $ V = W_ {1} \oplus \cdots \oplus W_ {k} $为T的主分解。即如果p是T的minimal polynomial且 $ p =p_ {1}^{r_ {1}} \cdots p_ {k}^{r_ {k}} $是p的主因子，则 $ W_ {j} $是 $ p_ {j}\left(T\right)^{r_ {j}} $的null space。设W为V的任意在T下不变的子空间，则
$ \begin{equation} W = \left(W \cap W_ {1}\right) \oplus \cdots \oplus \left(W \cap W_ {k}\right) \end{equation} $
引理 设T为V上的线性算子，设T的minimal polynomial在常量域F上是可约的，则T是semi-simple
定理 11 设T为有限维向量空间V上的一个线性算子，T是semi-simple的充分必要条件是T的minimal polynomial p是 $ p = p_ {1} \cdots p_ {k} $的形式，$ p_ {1}, \ldots, p_ {k} $是在常量域F上不同的可约polynomials
推论 如果T是代数闭合域上有限维向量空间中的一个线性算子，则T是semi-simple当且仅当T是可对角化的
引理 (Taylor’s Formula) 设F为一个特征零的域，且g和h是F上的polynomials，如果f是F上的任意polymonial，$ \operatorname{deg} f \le n $，则
$ \begin{equation} f(g) = f(h) + f^{(1)}(h)(g - h) + \frac{f^{(2)}(h)}{2 !} (g - h)^{2} + \cdots + \frac{f^{(n)}(h)}{n !}(g - h)^{n} \end{equation} $
引理 设F为复数子域，设f为F上一个polynomial，且设f’为f的导数。如下描述等价：
(a) f是F上不同不可约polynomials的乘积
(b) f和f’是互质的
(c) 作为复系数的polynomial，f没有重复的根
定理 12 设F为复数子域，设V为F上的有限维向量空间，设T为V上的线性算子，设 $ \mathcal{B} $为V的一个有序基且设A为T在 $ \mathcal{B} $上的矩阵，则T是semi-simple当且仅当矩阵A在复数域上跟一个对角矩阵相似
定理 13 设F为复数子域，设V为F上的有限维向量空间，设T为V上的线性算子，有一个V上semi-simple算子和V上一个nilpotent算子使得
(i) T = S + N
(ii) SN = NS
满足(i)和(ii)的S和N是唯一的，且都是T的polynomial