Table of Contents
- Characteristic Values
- Annihilating Polynomials
- Invariant Subspaces
- Direct-Sum Decompositions
- Invariant Direct Sums
- THe Primary Decomposition Theorem
Characteristic Values
定义 设V是域F上的一个向量空间，设T为V上的线性算子。一个T的特征值是一个F上的常量c使得一个V上的非空向量 $ \alpha $有 $ T\alpha = c\alpha $。如果c是T的一个特征值，则
(a) 任意 $ \alpha $使得 $ T\alpha = c \alpha $被称为有特征值c的T的特征向量
(b) 所有使得 $ T\alpha = c \alpha $的 $ \alpha $向量集合被称为c的特征空间
如果T是任意线性算子且c是任意常数，使得 $ T \alpha = c \alpha $的向量 $ \alpha $的集合是V的一个子空间。它是线性转换 $ \left(T - cI\right) $的null空间。我们称c是T的一个特征值如果该子空间不是零空间，例如，如果 $ \left(T - cI\right) $不是1:1的。如果V是有限维的，$ \left(T - cI\right) $不是1:1的当它的行列式的值不为零。
定理 1 设T为有限维空间V上的一个线性算子且设c为一个常数。如下描述等效：
(i) c是T的一个特征值
(ii) 算子 $ \left(T - cI\right) $是singular（不可逆）
(iii) $ \operatorname{det}\left(T - cI\right) = 0 $
定义 如果A是域F上 $ n \times n $的矩阵，F上A的一个特征值是F上一个常数c使得矩阵(A - cI)是singular（不可逆）的
引理 相似矩阵有相同的特征多项式
定义 设T为有限维空间V上的一个线性算子，我们说T是可对角化的如果有一个V上的基，其每个向量是T的一个特征向量
引理 设 $ T\alpha = c\alpha $，如果f是任意polynomial，则 $ f\left(T\right) \alpha = f\left(c\right) \alpha $
引理 设T为有限维空间v上的一个线性算子。设 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $为T上的不同的特征值，且设 $ W_ {i} $为特征值 $ c_ {i} $对应特征向量空间，如果 $ W = W_ {1} + \cdots + W_ {k} $，则
$ \begin{equation} \operatorname{dim} W = \operatorname{dim} W_ {1} + \cdots + \operatorname{dim} V_ {k} \end{equation} $
事实上，如果 $ \mathcal{B}_ {i} $是 $ W_ {i} $的一个有序基，则 $ \mathcal{B} = \left(\mathcal{B}_ {1}, \ldots, \mathcal{B}_ {k}\right) $是W的一个有序基
定理 2 设T为有限维空间v上的一个线性算子。设 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $为T上的不同的特征值且设 $ W_ {i} $为 $ \left(T - c_ {i}I\right) $的null space，则如下描述等价：
(i) T是可对角化的
(ii) T的特征polynomial是
$ \begin{equation} f = \left( x - c_ {1}\right)^{d_ {1}} \cdots \left( x - c_ {k}\right)^{d_ {k}} \end{equation} $
且 $ \operatorname{dim} W_ {i} = d_ {i}, i = 1, \ldots, k $
(iii) $ \operatorname{dim} W_ {1} + \cdots + \operatorname{dim} W_ {k} = \operatorname{dim} V $
Annihilating Polynomials
定义 设T为域F上有限维向量空间V上的一个线性算子。T的minimal polynomial是（唯一的）域F上消除T的polynomials的ideal的monic生成器
如果A是一个域F上 $ n \times n $的矩阵，我们以类似的方法定义A的minimal polynomial
定理 3 设T为n维向量空间V上的一个线性算子[或，设A为 $ n \times n $矩阵]。T [或A]的特征和minimal polynomials有相同的根，除了重复的根
定理 4(Cayley-Hamilton) 设T为有限维向量空间V上的一个线性算子，如果f是T的characteristic polynomial，则f(T) = 0；即minimal polynomial能被T的characteristic polynomial整除
Invariant Subspaces
定义 设V是一个向量空间且T是V上的一个线性算子。如果W是V的一个子空间，我们说W在T下不变如果对W中每个向量 $ \alpha, T \alpha \in W $ ，例如，如果T(W)包含在W中
定义 设W是T的invariant subspace且设 $ \alpha $为V上的一个向量。T-conductor of $ \alpha $ into W是集合 $ S_ {T}\left( \alpha, W\right) $，包含所有的polynomials g使得 $ g\left(T\right) \alpha $在W中
引理 设V是域F上的一个有限维向量空间，设T为V上的线性算子使得T的minimal polynomial是线性因子的乘积
$ \begin{equation} p = \left(x - c_ {1}\right)^{r_ {1}} \cdots \left(x - c_ {k}\right)^{r_ {k}}, \qquad c_ {i} \text{ in } F \end{equation} $
设W是V的子空间（ $ W \ne V $），invariant under T。存在V中一个向量 $ \alpha $使得
(a) $ \alpha $不在W中
(b) $ \left(T - cI\right) \alpha $在W中，c为算子T的某个特质值
定理 6 设V为域F上的有限维向量空间，设T为V上的线性算子，则T是可对角化的当且仅当T的minimal polynomial有如下形式
$ \begin{equation} p = \left(x - c_ {1}\right) \cdots \left(x - c_ {k}\right) \end{equation} $
$ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $是F上不同的元素
Direct-Sum Decompositions
定义 如果V是一个向量空间，V的projection E是V上的一个线性算子使得 $ E^{2} = E $
假设E是一个projection，设R为E的range，设N为E的null space
- 向量 $ \beta $在range R中当且仅当 $ E \beta = \beta $。如果 $ \beta = E \alpha $，则 $ E \beta = E^{2} \alpha = E \alpha = \beta $。相反地，如果 $ \beta == E \beta $，则 $ \beta $在E的range中
- $ V = R \oplus N $
- $ \alpha $作为R和N中向量和的唯一表达为 $ \alpha = E \alpha + \left(\alpha - E \alpha\right) $
任意projection E是可对角化的。如果 $ \{\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} \} $是R的一个基且 $ \{ \alpha_ {r+1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $是N的一个基，则基 $ \mathcal{B} = \{\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \} $对角化E:
$ \begin{equation} [E]_ {\mathcal{B}} = \left[ \begin{array}{ccc} I & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \end{equation} $
I为 $ r \times r $单位矩阵。projections可被用来描述空间V的直和分解。设 $ V = W_ {1} \oplus \cdots \oplus W_ {k} $，对每个j我们定义一个V上的算子 $ E_ {j} $。设 $ \alpha $在V中，$ \alpha = \alpha_ {1} + \cdots + \alpha_ {k}, \alpha_ {i} \in W_ {i} $。定义 $ E_ {j} \alpha = \alpha_ {j} $，则 $ E_ {j} $的range是 $ W_ {j} $且 $ E_ {j}^{2} = E_ {j} $。$ E_ {j} $的null space是子空间
$ \begin{equation} \left( W_ {1} + \cdots + W_ {j-1} + W_ {j+1} + \cdots + W_ {k} \right) \end{equation} $
我们有
$ \begin{equation} \alpha = E_ {1} \alpha + \cdots + E_ {k} \alpha, \forall \alpha \in V \end{equation} $
即 $ I = E_ {1} + \cdots + E_ {k} $
Invariant Direct Sums
给定一个V的decomposition，T在每个 $ W_ {i} $的限制上引入一个线性算子 $ T_ {i} $。如果 $ \alpha $是V中一个向量，我们有唯一的向量 $ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {k}, \alpha_ {i} \in W_ {i} $，使得
$ \begin{equation} \alpha = \alpha_ {1} + \cdots + \alpha_ {k} \end{equation} $
且 $ \begin{equation} T \alpha = T_ {1} \alpha_ {1} + \cdots + T_ {k}\alpha_ {k} \end{equation} $
我们描述这个形势称T是算子 $ T_ {1}, \ldots, T_ {k} $的直和。必须记住使用这个术语时 $ T_ {i} $不是V上的线性算子，而是在各自的子空间 $ W_ {i} $上的。
我们注意到矩阵也有类似的情况。假设我们对每个 $ W_ {i} $选择一个有序基 $ \mathcal{B}_ {i} $且设 $ \mathcal{B} $为V的有序基包含 $ \mathcal{B}_ {i} $的联合，按 $ \mathcal{B}_ {1}, \ldots, \mathcal{B}_ {k} $的顺序排列，使得 $ \mathcal{B} $为V的一个基。容易看到如果 $ A = [T]_ {\mathcal{B}}且 A_ {i} = [T_ {i}]_ {\mathcal{B_ {i}}} $则A有如下形式
$ \begin{equation} A = \left[ \begin{array}{ccc} A_ {1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_ {2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \ A_ {k} \end{array} \right] \end{equation} $
$ A_ {i} 是一个 d_ {i} \times d_ {i} $的矩阵（ $ d_ {i} = \operatorname{dim}W_ {i} $ ），这可被称为A是矩阵 $ A_ {1}, \ldots, A_ {k} $的直和
定理 10 设T为V空间的线性算子，且设 $ W_ {1}, \ldots, W_ {k}和E_ {1}, \ldots, E_ {k} $为上节所提。则一个充分必要条件是每个子空间 $ W_ {i} $在T下是invariant的指T在每个projections $ E_ {i} $上可交换，例如
$ \begin{equation} TE_ {i} = E_ {i}T, \qquad i = 1, \ldots, k \end{equation} $
定理 11 设T为有限维空间V上的一个线性算子，如果T是可对角化的且如果 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $为T的不同的特征值，则存在V上的线性算子 $ E_ {1}, \ldots, E_ {k} $使得
(i) $ T = c_ {1}E_ {1} + \cdots + c_ {k} E_ {k} $
(ii) $ I = E_ {1} + \cdots + E_ {k} $
(iii) $ E_ {i} E_ {j} = 0, i \ne j $
(iv) $ E_ {i}^{2} = E_ {i}（E_ {i} $ 是一个projection）
(v) $ E_ {i} $的range是T带特征值 $ c_ {i} $ 的特征空间
相反地，如果存在k个不同的常量 $ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $和k个非零的线性算子 $ E_ {1}, \ldots, E_ {k} $满足条件(i), (ii)和(iii)，则T是可对角化的，$ c_ {1}, \ldots, c_ {k} $为T的不同的特征值，且条件(iv)和(v)也会满足
THe Primary Decomposition Theorem
定理 12(Primary Decomposition Theorem) 设T为域F上有限维向量空间V上的一个线性算子，设p为T的minimal polynomial，
$ \begin{equation} p = p_ {1}^{r_ {1}} \cdots p_ {k}^{r_ {k}} \end{equation} $
$ p_ {i} $是域F上不同的不可约monic polynomials且 $ r_ {i} $是一个正整数。设 $ W_ {i}为 p_ {i}\left(T\right)^{r_ {i}} 的null space, i = 1, \ldots, k $，则
(i) $ V = W_ {1} \oplus \cdots \oplus W_ {k} $
(ii) 每个 $ W_ {i} $在T下是invariant的
(iii) 如果 $ T_ {i} $是T在 $ W_ {i} $上导出的算子，则 $ T_ {i} 的 minimal polynomial是 p_ {i}^{r_ {i}} $
推论 如果 $ E_ {1}, \ldots, E_ {k} $是T的primary decomposition有关的projections，则每个 $ E_ {i} $是T上的一个polynomial，且如果一个线性算子U与T能交换则U交换每个 $ E_ {i} $，例如，每个子空间 $ W_ {i} $在U上是invariant的
在定理12的记号证明中，让我们看一下T的minimal polynomials是degree为1的polynomials乘积的特殊例子，例如，该例子中每个 $ p_ {i} 是这个形式：p_ {i} = x - c_ {i} $。$ E_ {i} $的range是 $ \left(T - c_ {i}I\right)^{r_ {i}} $的null space $ W_ {i} $。设 $ D = c_ {1}E_ {1} + \cdots + c_ {k}E_ {k} $。通过定理11，D是一个可对角化算子我们称为T的可对角化部分。让我们看一下算子N = T - D。现在
$ \begin{equation} T = TE_ {1} + \cdots + TE_ {k} \end{equation} $
$ \begin{equation} D = c_ {1}E_ {1} + \cdots + c_ {k}E_ {k} \end{equation} $
所以
$ \begin{equation} N = \left(T - c_ {1}I\right)E_ {1} + \cdots + \left(T - c_ {k}I\right)E_ {k} \end{equation} $
熟悉projection后，我们容易看到
$ \begin{equation} N^{2} = \left(T - c_ {1}I\right)^{2}E_ {1} + \cdots + \left(T - c_ {k}I\right)^{2}E_ {k} \end{equation} $
一般的，有
$ \begin{equation} N^{r} = \left(T - c_ {1}I\right)^{r}E_ {1} + \cdots + \left(T - c_ {k}I\right)^{r}E_ {k} \end{equation} $
当对每个i， $ r \ge r_ {i} $时，我们有 $ N^{r} = 0 $，因为算子 $ \left(T - c_ {i}I\right)^{r} $在 $ E_ {i} $的range上为0
定义 设N为向量空间V上的线性算子。我们说N是nilpotent的如果有一个正整数r使得 $ N^{r} = 0 $
定理 13 设T为域F上有限维向量空间V上的一个线性算子，假设T的mininmal polynomial在F上分解为线性polynomial的乘积。则V上一个可对角化算子和V上一个nilpotent算子N使得
(i) T = D + N
(ii) DN = ND
可对角化算子D和nilpotent算子N为(i)和(ii)唯一决定且它们都是T的polynomial
推论 设V为一个代数闭合域F上的有限维向量空间，例如，复数域，则V上的每个线性算子T可被写为可交换的一个可对角化算子D和一个nilpotent算子N的和。这些算子D和N是唯一的且都是T的polynomial