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Modules
如果K是带单位元的交换环，K上的module是一个代数系统，其行为跟向量空间相似。精确地说，V是K上的一个module（或K-module），如果
- V是一个交换群，V上有一个加法使得 $ \left( \alpha + \beta \right) \to \alpha + \beta $
-
有一个乘法使得 $ \alpha \in V, c \in K, \left(c, \alpha\right) \to c\alpha $，有
$ \begin{equation} \left( c_ {1} + c_ {2}\right) \alpha = c_ {1}\alpha + c_ {2}\alpha \end{equation} $
$ \begin{equation} c\left( \alpha_ {1} + \alpha_ {2}\right) = c\alpha_ {1} + c\alpha_ {2} \end{equation} $
$ \begin{equation} \left( c_ {1} c_ {2}\right) \alpha = c_ {1} \left(c_ {2}\alpha \right) \end{equation} $
$ \begin{equation} 1 \alpha = \alpha \end{equation} $
定义 K-module V被称为一个free module，如果它有一个基。如果V有有限个基包含n个元素，则V被称为一个free K-module with n generators
Multilinear Functions
设K为带单位元的交换环，设V为K上的一个module。如果r是一个正整数，一个函数从 $ V^{r} = V X V X \cdots X V $ 到K被称为multilinear如果 $ L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} \right) $是线性的，当选择某个 $ \alpha_ {i} $，固定其他的 $ \alpha_ {j} $，对每个i，有
$ \begin{equation} L\left(\alpha_ {1}, \ldots, c\alpha_ {i} + \beta_ {j}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = cL\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {i}, \ldots, \alpha_ {r}\right) + L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \beta_ {i}, \ldots, \alpha_ {r}\right) \end{equation} $
$ V^{r} $上的multilinear function也被称为V上的一个r-linear form或V上的一个multilinear form of degree r。有时候也被称为V上的r-tensors。$ V^{r} $上的所有multilinear function集合记为 $ M^{r}\left(V\right) $。如果L和M都在 $ M^{r}\left(V\right) $里，则和L + M:
$ \begin{equation} \left(L + M\right)\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) + M\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) \end{equation} $
也是multilinear，且如果c是K中一个元素，乘积cL:
$ \begin{equation} \left(cL\right)\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = cL\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) \end{equation} $
也是multilinear。因此 $ M^{r}\left(V\right) $是一个K-module - 所有从 $ V^{r} $到K的函数的module的submodule。
如果r = 1我们有 $ M^{1}\left(V\right) = V^{ * } $，V上的linear functions的dual module。linear functions也能被用来构建更高维multilinear forms的例子。如果 $ f_ {1}, \ldots, f_ {r} $是V上的linear functions，定义
$ \begin{equation} L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = f_ {1}\left(\alpha_ {1}\right) f_ {2}\left(\alpha_ {2}\right) \cdots f_ {r}\left(\alpha_ {r}\right) \end{equation} $
假设L是 $ V^{r} $上的multilinear function，M是 $ V^{s} $上的multilinear function，我们定义 $ V^{r+s} $上的函数 $ L \otimes M $：
$ \begin{equation} \left( L \otimes M \right)\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r+s} \right) = L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r} \right)M\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {s}\right) \end{equation} $
如果我们认为 $ V^{r+s} $为 $ V^{r} X V^{s} $，则对 $ \alpha \in V^{r}, \beta \in V^{s} $，有
$ \begin{equation} \left(L \otimes M \right)\left(\alpha, \beta\right) = L\left(\alpha\right)M\left(\beta\right) \end{equation} $
很明显 $ L \otimes M $是 $ V^{r+s} $上的一个multilinear。函数 $ L \otimes M $被称为L和M的tensor product。tensor product是不交换的，事实上， $ M \otimes L \neq L \otimes M $除非L = 0或M = 0；然而，tensor product跟$ M^{r} $和 $ M^{s} $上的module操作相关。
引理 设L, $ L_ {1} $为V上的r-linear forms，设M, $ M_ {1} $为V上s-linear forms，c为K上一个元素，有
(a) $ \left(cL + L_ {1}\right) \otimes M = c\left(L \otimes M\right) + L_ {1} \otimes M $
(b) $ L \otimes \left(cM + M_ {1}\right) = c\left(L \otimes M\right) + L \otimes M_ {1} $
定理 设K为带单位元的交换环，如果V是rank n的free K-module，则 $ M^{r}\left(V\right) $是rank $ n^{r} $的free K-module；事实上，如果 $ \{ f_ {1}, \ldots, f_ {n} \} $是dual module $ V^{ * } $的一个基，则 $ n^{r} $ tensor products
$ \begin{equation} f_ {j_ {1}} \otimes \cdots \otimes f_ {j_ {r}}, \qquad 1 \leq j_ {1} \leq n, \ldots, 1 \leq j_ {r} \leq n \end{equation} $
是 $ M^{r}\left(V\right) $的一个基。
定义 设L为一个K-module V上的r-linear form。我们说L是alternating如果 $ L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = 0 $当 $ \alpha_ {i} = \alpha_ {j}, i \neq j $
如果L是 $ V^{r} $上的一个alternating multilinear function，则
$ \begin{equation} L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {i}, \ldots, \alpha_ {j}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = -L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {j}, \ldots, \alpha_ {i}, \ldots, \alpha_ {r}\right) \end{equation} $
即如果我们置换r元组 $ \left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) $的两个向量（下标不同）将使得L的值改变符号。因为每个排列 $ \sigma $是置换的乘积，我们看到 $ L\left(\alpha_ {\sigma 1}, \ldots, \alpha_ {\sigma r}\right) = \left(sgn \, \sigma\right)L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) $
我们记 $ \Lambda^{r}\left(V\right) $为V上所有alternating r-linear forms的集合。明显，$ \Lambda^{r}\left(V\right) $是 $ M^{r}\left(V\right) $的一个submodule。
如果L是一个module V上的r-linear form，如果 $ \sigma $ 是 $ \{ 1, \ldots, r \} $的一个排列，我们获得另一个r-linear function $ L_ {\sigma} $，定义：
$ \begin{equation} L_ {\sigma}\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = L \left(\alpha_ {\sigma 1}, \ldots, \alpha_ {\sigma r}\right) \end{equation} $
如果L是alternating的，则 $ L_ {\sigma} = \left(sgn \, \sigma\right)L $，现在，对每个 $ M^{r}\left(V\right) $上的L我们定义 $ M^{r}\left(V\right) $上的函数 $ \pi_ {r}L $:
$ \begin{equation} \pi_ {r}L = \sum_ {\sigma}\left(sgn \, \sigma\right)L_ {\sigma} \end{equation} $
即
$ \begin{equation} \left(\pi_ {r}L\right)\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = \sum_ {\sigma}\left(sgn \, \sigma\right)L\left(\alpha_ {\sigma 1}, \ldots, \alpha_ {\sigma r}\right) \end{equation} $
引理 $ \pi_ {r} $是从 $ M^{r}\left(V\right) $到 $ \Lambda^{r}\left(V\right) $上的一个linear transformation，如果L在 $ \Lambda^{r}\left( V \right) $中则 $ \pi_ {r}L = r ! L $
证明：设r为 $ \{1, \ldots, r \} $ 的任意排列，则
$ \begin{equation} \begin{aligned} \left(\pi_ {r}L\right)\left(\alpha_ {r1}, \ldots, \alpha_ {rr}\right) &= \sum_ {\sigma}\left(sgn \, \sigma\right)L\left(\alpha_ {r \sigma 1}, \ldots, \alpha_ {r \sigma r}\right) \\ &= \left(sgn \, r\right)\sum_ {\sigma}\left(sgn \, r\sigma\right)L\left(\alpha_ {r \sigma 1}, \ldots, \alpha_ {r \sigma r}\right) \end{aligned} \end{equation} $
因为 $ \sigma $一次运行 $ \{1, \ldots, r\} $的所有排列，所以 $ r\sigma $也是。因此，
$ \begin{equation} \left(\pi_ {r}L\right)\left(\alpha_ {r1}, \ldots, \alpha_ {rr}\right) = \left(sgn \, r\right)\left(\pi_ {r}L\right)\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) \end{equation} $
这样 $ \pi_ {r}L $是一个alternating form。
如果L在 $ \Lambda^{r}\left(V\right) $中，则对每个 $ \sigma, L\left(\alpha_ {\sigma 1}, \ldots, \alpha_ {\sigma r}\right) = \left(sgn \, \sigma\right)L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) $；因此 $ \pi_ {r}L = r ! L $
定理 设K为带单位元的交换环，V是rank n的free K-module，如果r > n，则 $ \Lambda^{r}\left(V\right) = \{ 0 \} $，如果 $ 1 \leq r \leq n $，则 $ \Lambda^{r}\left(V\right) $是一个rank $ {n \choose r} $的free K-module
推论 如果V是rank n的free K-module，则 $ \Lambda^{r}\left(V\right) $是一个rank 1的free K-module，如果T是V上的一个linear operator，K上有唯一一个元素c使得
$ \begin{equation} L\left(T\alpha_ {1}, \ldots, T\alpha_ {n}\right) = cL\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n}\right) \end{equation} $
对V上每一个alternating n-linear form L。
The Grassman Ring
行列式和alternating multilinear forms的许多重要属性是以forms上的乘积操作描述的，称为外部乘积。如果L和M是module V上alternating r和s-linear forms，我们有一个L和M的可结合乘积，tensor product $ L \otimes M $。它不是一个alernating form除非L = 0 或 M = 0；然而，我们有一个自然的方法投射到 $ \Lambda^{r+s}\left(V\right) $，如下：
$ \begin{equation} L \cdot M = \pi_ {r+s}\left(L \otimes M \right) \end{equation} $
应该是一个自然的alternating forms乘法。但，它是吗？
让我们用一个特殊的例子。假设V是一个module $ K^{n} $及 $ f_ {1}, \ldots, f_ {n} $是 $ K^{n} $上的标准坐标函数。如果 $ i \neq j $，则
$ \begin{equation} f_ {i} \cdot f_ {j} = \pi_ {2}\left(f_ {i} \otimes f_ {j}\right) \end{equation} $
是行列式函数：
$ \begin{equation} D_ {i j} = f_ {i} \otimes f_ {j} - f_ {j} \otimes f_ {i} \end{equation} $
现在假设k是一个索引，不同于i和j，则
$ \begin{equation} \begin{aligned} D_ {i j} \cdot f_ {k} &= \pi_ {3} [\left(f_ {i} \otimes f_ {j} - f_ {j} \otimes f_ {i}\right) \otimes f_ {k}] \\ &= \pi_ {3}\left(f_ {i} \otimes f_ {j} \otimes f_ {k}\right) - \pi_ {3}\left(f_ {j} \otimes f_ {i} \otimes f_ {k}\right) \end{aligned} \end{equation} $
对任意 r-linear form L和 $ \{ 1, \ldots, r \} $ 的任意排序
$ \begin{equation} \pi_ {r}\left(L_ {\sigma} \right) = sng \, \sigma \, \pi_ {r}\left(L\right) \end{equation} $
因此，$ D_ {i j} \cdot f_ {k} = 2 \pi_ {3}\left(f_ {i} \otimes f_ {j} \otimes f_ {k}\right) $。通过相似的计算，$ f_ {i} \cdot D_ {j k} = 2 \pi_ {3}\left(f_ {i} \otimes f_ {j} \otimes f_ {k}\right) $。这样我们有
$ \begin{equation} \left(f_ {i} \cdot f_ {j}\right) \cdot f_ {k} = f_ {i} \cdot \left(f_ {j} \cdot f_ {k} \right) \end{equation} $
所有这些看起来非常好。但有个问题。尽管我们完成了计算，该计算是不可结合的。事实上，如果l是一个索引不同于i，j，k，则可计算
$ \begin{equation} D_ {i j} \cdot D_ {k l} = 4 \pi_ {4} \left( f_ {i} \otimes f_ {j} \otimes f_ {k} \otimes f_ {l} \right) \end{equation} $
及
$ \begin{equation} \left( D_ {i j} \cdot f_ {k} \right) \cdot f_ {l} = 6 \pi_ {4} \left(f_ {i} \otimes f_ {j} \otimes f_ {k} \otimes f_ {l}\right) \end{equation} $
这样，一般地
$ \begin{equation} \left( f_ {i} \cdot f_ {j}\right) \cdot \left( f_ {k} \cdot f_ {l}\right) \neq [ \left(f_ {i} \cdot f_ {j}\right) \cdot f_ {k}] \cdot f_ {l} \end{equation} $
这样我们看到该乘法不是一个可结合的操作。
假设在module V上L是一个r-linear form且M是一个s-linear form，则
$ \begin{equation} \begin{aligned} \pi_ {r+s}\left(\left(\pi_ {r}L\right) \otimes \left(\pi_ {s}M\right)\right) &= \pi_ {r+s}\left(\sum_ {\sigma, r}\left(sgn \, \sigma\right) \left(sgn \, r\right)L_ {\sigma} \otimes M_ {r}\right) \\ &= \sum_ {\sigma, r}\left(sgn \, \sigma\right)\left(sgn \, r\right) \pi_ {r+s}\left(L_ {\sigma} \otimes M_ {r}\right) \end{aligned} \end{equation} $
$ \sigma $随着对称组 $ S_ {r} $的 $ \{ 1, \ldots, r \} $的所有排列改变，r随着 $ S_ {s} $改变。每对 $ \sigma $，r定义 $ S_ {r+s} $的一个 $ \left(\sigma, r\right) $元素，根据 $ \sigma $排列 $ \{ 1, \ldots, r + s \} $的前r个元素，后s个元素根据r排列。则
$ \begin{equation} sng \, \left(\sigma, r\right) = \left(sgn \, \sigma\right)\left(sgn \, r\right) \end{equation} $
及
$ \begin{equation} \left( L \otimes M \right)_ {\left(\sigma, r\right)} = L_ {\sigma} \otimes L_ {r} \end{equation} $
因此
$ \begin{equation} \pi_ {r+s}[\left(\pi_ {r}L\right) \otimes \left(\pi_ {s}M\right)] = \sum_ {\sigma, r} sgn\left(\sigma, r\right) \pi_ {r+s}[\left(L \otimes M\right)_ {\left(\sigma, r\right)}] \end{equation} $
现在我们观察到
$ \begin{equation} sgn \, \left(\sigma, r\right)\pi_ {r+s}[\left(L \otimes M\right)_ {\left(\sigma,r\right)}] = \pi_ {r+s}\left(L \otimes M\right)\end{equation} $
这样的话
$ \begin{equation} \pi_ {r+s}[\left(\pi_ {r}L\right) \otimes \left(\pi_ {s}M\right)] = r ! s ! \pi_ {r+s}\left(L \otimes M\right) \end{equation} $
这个公式简化了计算。例如，假设我们有一个r-shuffle $ I = \left(i_ {1}, \ldots, i_ {r}\right) $和s-suffle $ J = \left(j_ {1}, \ldots, j_ {s}\right) $。为简单化，假设
$ \begin{equation} i_ {1} < \cdots < i_ {r} < j_ {1} < \cdots < j_ {s} \end{equation} $
则我们有相关行列式函数
$ \begin{equation} \begin{aligned} D_ {I} = \pi_ {r}\left(E_ {I}\right) \\ &D_ {J} = \pi_ {s}\left(E_ {J}\right) \end{aligned} \end{equation} $
这样我们有
$ \begin{equation} \begin{aligned} D_ {I} \cdot D_ {J} &= \pi_ {r+s}[\pi_ {r}\left(E_ {I}\right) \otimes \pi_ {s}\left(E_ {J}\right) ] \\ &= r ! s ! \pi_ {r+s}\left(E_ {I} \otimes E_ {J}\right) \end{aligned} \end{equation} $
因为 $ E_ {I} \otimes E_ {J} = E_ {I \cup J} $，因此有
$ \begin{equation} D_ {I} \cdot D_ {J} = r ! s ! D_ {I \cup J}\end{equation} $
由于 $ D_ {I} \cdot D_ {J} \neq D_ {I \cup J} $，表示该乘法没有结合律，为让该等式成立，我们应该定义一个新的乘积，一个alternating r-linear form L和alternating s-linear form M的外部乘积（或wedge product）：
$ \begin{equation} L \land M = \frac{1}{r ! s !}\pi_ {r+s}\left(L \otimes M\right) \end{equation} $
然后对Kn 的行列式，我们有
$ \begin{equation} D_ {I} \land D_ {J} = D_ {I \cup J} \end{equation} $
不幸的是，上述式子在最一般的情况下无意义，因为我们可能在K环中不能被r!s!除。如果K是一个特征零的域，则该式子是有意义的，且很容易证明该乘积是可结合的。
定理 设K为一个特征零的域且V是K上的一个向量空间。则V上alternating forms的外部乘积是可结合的。即如果L, M, N是V上的alternating multilinear forms，degree分别为r, s和t，则
$ \begin{equation} \left( L \land M\right) \land N = L \land \left( M \land N \right) \end{equation} $
现在我们回到一般情况，假设K是带单位元的交换环。我们的第一个问题是想用一般化的相当的定义。如果L和M是degree r和s的alternating multilinear forms，我们想要构建一个重要的degree r+s的alternating multilinear form $ L \land M $使得
$ \begin{equation} r ! s ! \left( L \land M \right) = \pi_ {r+s}\left(L \otimes M \right) \end{equation} $
让我们回忆如何定义 $ \pi_ {r+s}\left(L \otimes M \right) $。对 $ \{ 1, \ldots, r + s \} $的每个排列 $ \sigma $我们联系multilinear function：
$ \begin{equation} \left(sgn \, \sigma\right)\left(L \otimes M \right)_ {\sigma} \end{equation} $
及
$ \begin{equation} \left(L \otimes M\right)_ {\sigma}\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r+s}\right) = \left(L \otimes M\right)\left(\alpha_ {\sigma 1}, \ldots, \alpha_ {\sigma\left(r+s\right)}\right) \end{equation} $
我们对该函数所有的排列 $ \sigma $求和。有 (r + s)! 个排列；然而，因为L和M是alternating的，许多函数相等。事实上，有最多
$ \begin{equation} \frac{\left(r+s\right) !}{r ! s !} \end{equation} $
不同的函数。让我们看看为什么。设 $ S_ {r+s} $为 $ \{ 1, \ldots, r+s \} $ 的排列集合，例如，$ S_ {r+s} $为degree r + s 的对称组。我们区分子集合G包含排列集合 $ \{1, \ldots, r \} $ 和 $ \{r + 1, \ldots, r + s \} $的排列 $ \sigma $。即 $ \sigma $在G中如果 $ 1 \leq \sigma i \leq r $，i在1和r之间（j在r + 1和r + s之间，$ r + 1 \leq \sigma_ {j} \leq r + s $）。现在G是 $ S_ {r+s} $的一个子群，如果 $ \sigma $和r在G中则 $ \sigma r^{-1} $也在G中。明显地，G有r!s!个成员。
我们有一个映射 $ S_ {r+s} \stackrel{\Psi}{\to} M^{r+s}\left(V\right) $
定义 $ \Psi\left(\sigma\right) = \left(sgn \, \sigma\right)\left(L \otimes M \right)_ {\sigma} $
因为L和M是alternating的， $ \forall \gamma \in G, \Psi\left(\gamma\right) = L \otimes M $
因此，因为对V上任意(r+s)-linear form N， $ \left(N\sigma\right)_ {\tau} = N_ {\tau \sigma} $，我们有
$ \begin{equation} \Psi\left(\tau \gamma\right) = \Psi\left(\tau\right), r \, in \, S_ {r+s}, r \, in \, G \end{equation} $
这表示映射 $ \Psi $在每个子群G的（左）coset rG是个常数。如果 $ \tau_ {1} $ 和 $ \tau_ {2} $在 $ S_ {r+s} $中，则cosets $ \tau_ {1}G $和 $ \tau_ {2}G $要么相等要么不相交，根据 $ \tau_ {2}^{-1}\tau_ {1} $是不是在G中。每个coset包含r!s!个元素；因此，有
$ \begin{equation} \frac{\left(r + s\right) !}{r ! s !} \end{equation} $
个不同的coset。如果 $ S_ {r+s} / G $记为coset集合则 $ \Psi $ 定义了一个在 $ S_ {r+s} / G $上的函数，例如，通过我们所展示的，有一个函数 $ \bar{\Psi} $在集合上，这样
$ \begin{equation} \forall \tau \in S_ {r+s}, \Psi\left(\tau\right) = \widetilde{\Psi}\left(\tau G\right) \end{equation} $
如果H是G的一个左coset，则 $ \forall \tau \in H, \bar{\Psi} \left(H\right) = \Psi\left(\tau\right) $
我们现在定义degree为r和s的alternating multilinear forms L和M的外积为
$ \begin{equation} L \land M = \sum_ {H}\widetilde{\Psi}\left(H\right) \end{equation} $
H在 $ S_ {r+s} / G $上遍历。另一种表达 $ L \land M $定义的方法如下。设S为排列 $ \{1, \ldots, r + s \} $的任意集合包含G的每个left coset中的一个元素。则
$ \begin{equation} L \land M = \sum_ {\sigma}\left(sng \, \sigma\right)\left(L \otimes M \right)_ {\sigma} \end{equation} $
$ \sigma $在S上遍历。明显地
$ \begin{equation} r ! s ! L \land M = \pi_ {r + s}\left(L \otimes M \right) \end{equation} $
定理 设K为带单位元的交换环，V为K上的一个module，则外积是一个在V上的alternating multilinear forms的可结合操作。即如果K，M和N是对应degree r、s和t的alternating multilinear forms，则
$ \begin{equation} \left( L \land M \right) \land N = L \land \left( M \land N \right) \end{equation} $
证明：设G(r, s, t)为 $ S_ {r+s+t} $的子群包含排列 $ \{1, \ldots, r \}, \{r + 1, \ldots, r + s \}, \{ r + s + 1, \ldots, r + s + t \} $ 集合里的排列。则 $ \left(sgn \, \mu\right)\left(L \otimes M \otimes N\right)_ {\mu} $是在给定G(r, s, t)的左coset中的所有 $ \mu $的相同multilinear函数。从每个G(r, s, t)的左coset中选择一个元素，设E为对应 $ \left(sng \, \mu\right)\left(L \otimes M \otimes N\right)_ {\mu} $的和。则E是代表 $ \mu $被选择的独立方法，且
$ \begin{equation} r ! s ! t ! E = \pi_ {r+s+t}\left(L \otimes M \otimes N\right) \end{equation} $
我们将显示 $ \left(L \land M\right) \land N $和 $ L \land \left( M \land N\right) $都是和E相等的。
设G(r + s, t)为 $ S_ {r+s+t} $的子群排列 $ \{1, \ldots, r + s \}, \{r + s + 1, \ldots, r + s + t\} $的集合。设T为排列 $ \{1, \ldots, r + s + t \} $的任意集合包含G(r + s, t)每个左coset的一个元素，通过
$ \begin{equation} \left(L \land M\right) \land N = \sum_ {\tau} \left(sgn \, \tau\right)[\left(L \land M\right) \otimes N]_ {\tau} \end{equation} $
其和扩展了T上 $ \tau $的排列。现在设G(r, s)为 $ S_ {r+s} $的子群排列集合 $ \{1, \ldots, r\}, \{r + 1, \ldots, r + s \} $。设S为排列 $ \{1, \ldots, r + s \} $的任意集合包含G(r, s)的每个左coset的一个元素。则
$ \begin{equation} \left(L \land M\right) \land N = \sum_ {\sigma, \tau}\left(sgn \, \sigma\right) \left(sgn \, \tau\right)[\left(L \otimes M\right)_ {\sigma} \otimes N]_ {\tau} \end{equation} $
其和扩展了S X T上所有 $ \sigma, \tau $对。如果我们同意每个 $ S_ {r+s} $上的 $ \sigma $对应 $ S_ {r+s+t} $上的元素 $ \{ 1, \ldots, r + s\} $上的 $ \sigma $，及 $ \{ r + s + 1, \ldots, r + s + t \} $，则我们可写为：
$ \begin{equation} \left(L \land M\right) \land N = \sum_ {\sigma, \tau}sgn\left(\sigma \tau\right)[\left(L \otimes M \otimes N\right)_ {\sigma}]_ {\tau} \end{equation} $
但
$ \begin{equation} [\left(L \otimes M \otimes N\right)_ {\sigma}]_ {\tau} = \left(L \otimes M \otimes N\right)_ {\tau \sigma} \end{equation} $
因此
$ \begin{equation} \left(L \land M\right) \land N = \sum_ {\sigma, \tau}sgn\left(\tau \sigma\right)\left(L \otimes M \otimes N\right)_ {\tau \sigma} \end{equation} $
现在假设我们有
$ \begin{equation} \tau_ {1} \sigma_ {1} = \tau_ {2} \sigma_ {2} \gamma \end{equation} $
$ \sigma_ {i} \in S, \tau_ {i} \in T, \gamma \in G\left(r, s, t\right) $。则 $ \tau_ {2}^{-1} \tau_ {1} = \sigma_ {2} \gamma \sigma_ {1}^{-1} $，因为 $ \sigma_ {2} \gamma \sigma_ {1}^{-1} $在G(r+s, t)中，则 $ \tau_ {1} $ 和 $ \tau_ {2} $是在G(r + s, t)中相同的左coset里。因此，$ \tau_ {1} = \tau_ {2} $ 且 $ \sigma_ {1} = \sigma_ {2} \gamma $。但这意味着 $ \sigma_ {1} $ 和 $ \sigma_ {2} $在G(r, s)的相同coset中；因此，$ \sigma_ {1} = \sigma_ {2} $。因此，乘积 $ \tau \sigma $ 对应
$ \begin{equation} \frac{\left(r + s + t\right) !}{\left(r + s\right) ! t !} \frac{\left(r + s \right) ! }{r ! s !} \end{equation} $
$ \left(\tau, \sigma\right) $对在T X S中是都不同的且在G(r, s, t)不同的coset中。
因为在 $ S_ {r+s+t} $中有
$ \begin{equation} \frac{\left(r + s + t\right) !}{r ! s ! t !} \end{equation} $
个G(r, s, t)的左coset，则 $ \left(L \land M\right) \land N = E $。通过相似的计算，也有$ L \land \left( M \land N\right) = E$
例子13 外积跟计算行列式的相关公式紧密相关叫Laplace expansions。设K为带单位元的交换环及n是一个正整数。假设 $ 1 \le r < n $，设L为 $ K^{n} $上的alternating r-linear form定义为：
$ \begin{equation} L\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {r}\right) = \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}A_ {11} & \cdots & A_ {1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_ {r 1} & \cdots & A_ {r r} \end{array} \right] \end{equation} $
如果s = n - r且M是alternating s-linear form
$ \begin{equation} M\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {s}\right) = \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}A_ {1\left(r+1\right)} & \cdots & A_ {1n} \\ \vdots & & \vdots \\ A_ {s\left(r+s\right)} & \cdots & A_ {sn} \end{array} \right] \end{equation} $
则 $ L \land M = D, K^{n}$上的行列式函数。因为 $ L \land M $是一个alternating n-linear form且
$ \begin{equation} \left(L \land M\right)\left(\epsilon_ {1}, \ldots, \epsilon_ {n}\right) = 1 \end{equation} $
如果我们现在用正确的方法描述 $ L \land M $，我们获得一个K的n x n矩阵行列式的Laplace expansion。
在排列群 $ S_ {n} $中，设G为排列集合 $ \{1, \ldots, r \} $和 $ \{ r+1, \ldots, n \} $的子群。G的每个左coset包含一个排列 $ \sigma $使得 $ \sigma 1 < \sigma 2 < \ldots < \sigma r $ 和 $ \sigma \left(r + 1\right) < \ldots < \sigma n $。排列的符号被给定为：
$ \begin{equation} sng \, \sigma = \left(-1\right)^{\sigma 1 + \cdots + \sigma r + \left(\frac{r\left(r-1\right)}{2}\right) } \end{equation} $
wedge product $ L \land M $被给定为：
$ \begin{equation} \left(L \land M \right) \left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n}\right) = \sum \left(sgn \, \alpha\right) L\left(\alpha_ {\sigma_ {1}}, \ldots, \alpha_ {\sigma r}\right) M\left(\alpha_ {\sigma \left(r+1\right)}, \ldots, \alpha_ {\sigma n}\right) \end{equation} $
其和为 $ \sigma $的集合，每个G中coset一个。因此，
$ \begin{equation} \left(L \land M \right)\left(\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n}\right) = \sum_ {j_ {1} < \cdots < j_ {r}}e_ {J} L\left(\alpha_ {j_ {1}}, \ldots, \alpha_ {j_ {r}}\right)M\left(\alpha_ {k_ {1}}, \ldots, \alpha_ {k_ {s}}\right) \end{equation} $
其中
$ \begin{equation} e_ {J} = \left(-1\right)^{j_ {1} + \cdots + j_ {r} + \left(\frac{r\left(r - 1\right)}{2}\right)} \end{equation} $
$ \begin{equation} k_ {i} = \sigma\left(r + i\right) \end{equation} $
即
$ \begin{equation} \operatorname{det} A = \sum_ {j_ {1} < \cdots < j_ {r}} e_ {J} \left| \begin{array}{ccc}A_ {j_ {1}, 1} & \cdots & A_ {j_ {1}, r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_ {j_ {r}, 1} & \cdots & A_ {j_ {r}, r} \end{array} \right| \left| \begin{array}{ccc} A_ {k_ {1}, r+1} & \cdots & A_ {k_ {1}, n} \\ \vdots & & \vdots \\ A_ {k_ {r}, r+1} & \cdots & A_ {k_ {r}, n} \end{array} \right| \end{equation} $
这是一个Laplace expansion。其他的可通过替换集合 $ \{1, \ldots, r \} $和 $ \{r+1, \ldots, n \} $为两个不同补集索引来获得。
如果V是一个K-module，我们可把各种form modules $ \Lambda^{r}\left(V\right) $放一起并使用外积来定义一个环。为简化，我们将只针对这个rank n的free K-module。modules $ \Lambda^{r}\left(V\right) $ 定义为
$ \Lambda\left(V\right) = \Lambda^{0}\left(V\right) \otimes \Lambda^{1}\left(V\right) \otimes \cdots \otimes A^{n}\left(V\right) $
这是外部直接和 - 我们之前没有谈论过。$ \Lambda\left(V\right) $的元素为 (n+1)元组 $ \left(L_ {0}, \ldots, L_ {n}\right), L_ {r} \in \Lambda^{r}\left(V\right) $。K元素的加法和乘法定义为(n+1)元组的。 $ \Lambda^{0}\left(V\right) = K $。如果我们认定 $ \Lambda^{k}\left(K\right) $其 (n + 1)元组(0, …, 0, L, 0, …, 0)的L在 $ \Lambda^{r}\left(K\right) $中。则 $ \Lambda^{r}\left(K\right) $是 $ \Lambda\left(V\right) $的一个submodule且其直和分解
$ \begin{equation} \Lambda\left(V\right) = \Lambda^{0}\left(V\right) \otimes \cdots \otimes \Lambda^{n}\left(V\right) \end{equation} $
因为 $ \Lambda^{r}\left(V\right) $是rank $ {n \choose r} $的free K-module，我们看到 $ \Lambda\left(V\right) $是一个free K-module且
$ \begin{equation} \operatorname{rank} \Lambda\left(V\right) = \sum_ {r=0}^{n} {n \choose r} = 2^{n} \end{equation} $
外积定义了一个 $ \Lambda\left(V\right) $上的乘法：在forms上使用外积且线性扩展它到 $ \Lambda\left(V\right) $。它分布在 $ \Lambda\left(V\right) $的加法上并给了 $ \Lambda\left(V\right) $一个环结构。该环是 $ V^{ * } $上的Grassman ring。它不是一个交换环，例如，如果L, M对应在 $ \Lambda^{r} $ 和 $ \Lambda^{s} $上，则
$ \begin{equation} L \land M = \left(-1\right)^{rs}M \land L \end{equation} $