Table of Contents
- Algebras
- The algebra of Polynomials
- Lagrange Interpolation
- Polynomial Ideals
- The Prime Factorization of a Polynomial
Algebras
定义 设F为一个域，一个域F上的线性代数为F上的一个线性空间 $ \mathbb{Q} $，及一个加操作称为向量乘法，对每个向量 $ \alpha, \beta $ in $ \mathbb{Q} $，一个 $ \mathbb{Q} $ 里的向量 $ \alpha \beta $称为 $ \alpha $ 和 $ \beta $的乘积，且有
(a) 乘法是可结合的， $ \alpha \left( \beta \gamma \right) = \left( \alpha \beta \right) \gamma $
(b) 乘法与加法结合， $ \alpha \left( \beta + \gamma \right) = \alpha \beta + \alpha \gamma \quad and \quad \left( \alpha + \beta \right) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma $
(c) 对每个F中常数c，有 $ c \left( \alpha \beta \right) = \left( c \alpha \right) \beta = \alpha \left( c \beta \right) $
如果有一个 $ \mathbb{Q} $ 上的元素1，使得 $ \forall \alpha \in \mathbb{Q} \, , \, 1 \alpha = \alpha 1 = \alpha $，我们称 $ \mathbb{Q} $ 为F上带单位值的线性代数，并称1为 $ \mathbb{Q} $的单位值。如果 $ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{Q}, \, \alpha \beta = \beta \alpha $，则称代数 $ \mathbb{Q} $为可交换的。
The algebra of Polynomials
定义 设F[x]为向量 $ 1, x, x^{2}, \ldots $ 扩展的 $ F^{\infty} $ 的子空间，F[x]的元素被称为F上的polynomial
定理 设f和g为F上非零polynomials，则
(i) fg是一个非零polynomial
(ii) deg(fg) = deg f + deg g
(iii) fg是一个monic polynomial当且仅当f和g都是nomic polynomials
(iv) fg是一个常量polynomial当且仅当f和g都是常量polynomials
(v) 如果 $ f + g \neq 0, \quad deg\left(f + g\right) \leq max\left( deg f, deg g \right) $
Lagrange Interpolation
本节我们将假设F为固定域且 $ t_ {0}, t_ {1}, \ldots, t_ {n} $ 为n + 1个F上不同元素。设V为F[x]的子空间包含所有小于等于n的polynomials，且设 $ L_ {i} $为从V到F的函数，定义为：
$ \begin{equation} L_ {i}\left(f \right) = f \left(t_ {i} \right), \qquad 0 \leq i \leq n\end{equation} $
每个 $ L_ {i} $ 为V上的linear functional，$ L_ {0}, L_ {1}, \ldots, L_ {n} $的集合为V* 的基。
$ \{ L_ {0}, L_ {1}, \ldots, L_ {n} \} $为以 $ \{ P_ {0}, P_ {1}, \ldots, P_ {n} \} $ 为基的V的dual。则最多有一个这样的基，如果其存在则：
$ \begin{equation} L_ {j}\left(P_ {i}\right) = P_ {i}\left(t_ {j}\right) = \delta_ {i j} \end{equation} $
则Polymonials
$ \begin{equation} \begin{aligned} P_ {i} &= \frac{\left(x - t_ {0}\right) \cdots \left(x - t_ {i-1}\right)\left(x - t_ {i+1}\right) \cdots \left(x - t_ {n} \right)}{\left(t_ {i} - t_ {0}\right) \cdots \left(t_ {i} - t_ {i-1}\right)\left(t_ {i} - t_ {i+1}\right) \cdots \left(t_ {i} - t_ {n}\right)} \\ &= \prod_ {j \neq i}\left(\frac{x - t_ {j}}{t_ {i} - t_ {j}}\right) \end{aligned} \end{equation} $
如果 $ f = \sum_ {i}c_ {i}P_ {i} $，则对每个j，$ f\left(t_ {j} \right) = \sum_ {i}c_ {i}P_ {i}\left(t_ {j}\right) = c_ {j} $
这样对每个V中的f，有
$ \begin{equation} f = \sum_ {i=0}^{n}f\left(t_ {i}\right)P_ {i} \end{equation} $
该表达式被称为拉格朗日插值公式。
设 $ f = x^{i} $ 我们得到 $ x^{j} = \sum_ {i=0}^{n}\left(t_ {i}\right)^{j}P_ {i} $
如果f是F上的任意polymonial，记 $ f^{ \backsim } $ 为从F到F的polynomial函数映射F中每个t到f(t)。但可能对两个polynomials f 和 g，$ f \neq g $，有 $ f^{ \backsim } = g^{ \backsim } $。幸运地是，这种情况只发生在域F只有有限个不同元素上。为精确描述polynomials和polynomial函数之间的关系。我们需要定义两个polynomial函数乘积。如果f，g是F上的polynomials，$ f^{ \backsim } $ 和 $ g^{ \backsim } $的乘积是从F到F的函数 $ f^{ \backsim } g^{ \backsim } $：
$ \begin{equation} \left(f^{ \backsim }g^{ \backsim }\right)\left(t\right) = f^{ \backsim }\left(t\right) g^{ \backsim }\left(t\right), \qquad t \, in \, F \end{equation} $
因 $ \left(fg\right)\left(t\right) = f\left(t\right) g\left(t\right) $，对F中每个t，有
$ \begin{equation} \left(fg\right)^{ \backsim }\left(t\right) = f^{ \backsim }\left(t\right) g^{ \backsim }\left(t\right) \end{equation} $
这样 $ f^{ \backsim }g^{ \backsim } = \left(fg\right)^{ \backsim } $，也是一个polynomial函数。
定义 设F为一个域且设 $ \mathbb{Q} $ 和 $ \mathbb{Q}^{ \backsim } $为F上的linear algebras。algebra $ \mathbb{Q} $ 和 $ \mathbb{Q}^{ \backsim } $被称为同构的如果有一个 $ \mathbb{Q} $ 到 $ \mathbb{Q}^{ \backsim } $ 的一对一映射 $ \alpha \to \alpha^{ \backsim } $，使得
(a) $ \begin{equation} \left(c\alpha + d\beta\right)^{ \backsim } = c\alpha^{ \backsim } + d\beta^{ \backsim } \end{equation} $
(b) $ \begin{equation} \left(\alpha \beta\right)^{ \backsim } = \alpha^{ \backsim } \beta^{ \backsim } \end{equation} $
对所有 $ \alpha, \beta \, in \, \mathbb{Q} $ 及F上所有常量c，d。映射 $ \alpha \to \alpha^{ \backsim } $ 被称为 $ \mathbb{Q} $ 到 $ \mathbb{Q}^{ \backsim } $上的同构。
定理 如果F是一个域包含无穷多个不同的元素，则映射 $ f \to f^{ \backsim } $是F上algebra of polynomials到F上algebra of polynomial函数的同构。
Polynomial Ideals
如果c是polynomialf的一个根，则multiplicity of c为最大的正整数r使得 $ \left( x - c \right)^{r} $ 能被f整除。
定义 设F为一个域，一个F[x]中的ideal是F[x]的子空间M，使得fg属于M，f在F[x]中，g在M中。
例5，如果F是一个域且d是F上的一个polynomial，则集合M = dF[x]，对任意F[x]中的f，所有d的multiples df是一个ideal。因M为非空，M实际上包含d，如果f, g属于F[x]且c是一个常量，则
$ \begin{equation} c \left(df\right) - dg = d \left( cf - g\right) \end{equation} $
属于M，这样M是一个子空间。最后M也包含 $ \left(df\right)g = d\left(fg\right) $。ideal M被称为由d产生的principal ideal
The Prime Factorization of a Polynomial
定义 设F为一个域，一个F[x]上的polynomial f被称为F上可约的如果F[x]上存在degree $ \geq 1 $ 的polynomials g，h，使得f = gh，否则，f被称为在F上不可约的。一个F上非常数不可约polynomial被称为F上质polynomial，我们有时候称为F[x]上的一个质数。