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定义：设V和W为域F上的向量空间，一个从V到W的线性变换为一个从V到W的函数T，有
$ \begin{equation} \mathrm{T}(\mathrm{c} \alpha+\beta)=\mathrm{c}(\mathrm{T} \alpha)+\mathrm{T} \beta \end{equation} $
对V中所有α和β及F中所有标量c。
转换的矩阵表示
设V为域F上的n维向量空间，W为域F上的m维向量空间。设 $ \mathbb{B}=\left\{\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n}\right\} $ 为V的一个基，$ \mathbb{B}^{‘}=\left\{\beta_ {1}, \ldots, \beta_ {m}\right\} $ 为W的基。如果T是任意从V到W的线性变换，则T被向量 $ \alpha_ {j} $ 决定，有：
$ \begin{equation} T \alpha_ {j}=\sum_ {i=1}^{m} A_ {i j} \beta_ {i} \end{equation} $
m x n矩阵A被称为T对于基 $ \mathbb{B} $ 和 $ \mathbb{B}^{‘} $ 的矩阵
定义：设A和B为域F上的n x n 矩阵。我们说在域F上B跟A相似仅当有一个域F上的n x n可逆矩阵P，使得 $ B = P^{-1}AP $
Linear Functionals
如果V是域F上的向量空间，一个线性变换f从V到域F上的常量被称为V上的linear functional
如果V是向量空间，则V上的所有linear functionals集合形成一个向量空间，我们记为空间 $ V^{*} $ ，并称它为V的dual space:
$ \begin{equation} V^{*} = L(V, F) \end{equation} $
如果V是有限维的，则有 $ dim V^{*} = dim V $
设 $ \mathbb{B} = \left\{\alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \right\} $ 为V的基，则在V上存在（对每个i）有一个唯一的linear functional $ f_ {i} $ ，有
$ f_ {i}\left(\alpha_ {j}\right)=\delta_ {i j} $
这样我们从 $ \mathbb{B} $ 中获得V上n个不同linear functionals $ f_ {1}, \ldots, f_ {n} $ 的集合。这些functionals也是线性无关的。假设
$ \begin{equation} f = \sum_ {i = 1}^{n} c_ {i} f_ {i} \end{equation} $
则
$ \begin{equation} \begin{aligned} f\left(\alpha_ {j}\right) &=\sum_ {i=1}^{n} c_ {i} f_ {i}\left(\alpha_ {j}\right) \\ &=\sum_ {i=1}^{n} c_ {i} \delta_ {i j} \\ &=c_ {j} \end{aligned} \end{equation} $
我们知道 $ V^{* } $ 也是n维的，则 $ \mathbb{B}^{* } = \left\{ f_ {1}, \ldots, f_ {n} \right\} $ 是 $ V^{* } $ 的一个基，被称为 $ \mathbb{B} $ 的dual basis
定理：设V为域F上的有限维向量空间，设 $ \mathbb{B} = \left\{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \right\} $ 为V的一个基，则存在唯一的一个dual basis $ \mathbb{B}^{*} = \left\{ f_ {1}, \ldots, f_ {n} \right\} $ ，使得 $ f_ {i}(\alpha_ {j}) = \delta_ {i j} $ 。对V上的每个linear functional f，我们有
$ \begin{equation} f = \sum_ {i = 1}^{n} f(\alpha_ {i}) f_ {i} \end{equation} $
且对V上的每个向量，我们有
$ \begin{equation} \alpha = \sum_ {i = 1}^{n} f_ {i}(\alpha) \alpha_ {i} \end{equation} $
一个n维向量空间，其n - 1维子空间被称为hyperspace
定义：如果V是域F上的向量空间，S是V的一个子集，the annihilator of S被称为V上linear functionals f的集合 $ S^{0} $ ，使得 $ \forall \alpha \in S, f(\alpha) = 0 $
定理：设V为域F上的有限维向量空间，W为V的子空间，则 $ dim W + dim W^{0} = dim V $
The Double Dual
定理：设V为域F上的有限维向量空间，对任意向量 $ \alpha \in V $ ，定义
$ \begin{equation} L_ {\alpha} \left( f \right) = f \left( \alpha \right), \quad \quad f \quad in \quad V^{*} \end{equation} $
映射 $ \alpha \longrightarrow L_ {\alpha} $ 为V到 $ V^{**} $ 上的同构
这显示了映射 $ \alpha \longrightarrow L_ {\alpha} $ 为V到 $ V^{**} $ 上到线性变换，该变换是non-singular的，$ L_ {\alpha} = 0 $ 当且仅当 $ \alpha = 0 $ ，且有
$ \begin{equation} dim V^{** } = dim V^{* } = dim V \end{equation} $
线性变换的transpose
假设我们有两个域F上的向量空间V和W，和一个从V到W的线性变换T。则T导入了一个从 $ W^{ * } $ 到 $ V^{ * } $ 的线性变换，假设g为W上的linear functional，设
$ \begin{equation} \forall \alpha \in V, \quad f \left( \alpha \right) = g \left( T \alpha \right) \end{equation} $
f为从V到F的函数，因为T和g都是线性的，则f也是线性的。这样T提供了一个规则 $ T^{t} $ 使得 $ f = T^{t} g $。$ T^{t} $ 也是从 $ W^{ * } $ 到 $ V^{ * } $ 的一个线性变换。
定理 设V和W为域F上的向量空间，对每个从V到W的线性变换T，有一个唯一的从 $ W^{ * } $ 到 $ V^{ * } $ 的线性变换 $ T^{t} $ ， 使得
$ \begin{equation} \forall g \, in \, W^{ * } \, and \, \alpha \, in \, V, \quad \left( T^{t} g \right) \left( \alpha \right) = g \left( T \alpha \right) \end{equation} $
我们称 $ T^{t} $ 为T的transpose，也被称为the adjoint of T
定理 设V和W为域F上的向量空间，设T为从V到W上的线性变换， $ T^{t} $ 的null space为T的范围的annihilator。如果V和W都是有限维的，则
(i) $ rank \left( T^{t} \right) = rank \left( T \right) $
(ii) $ T^{t} $ 的范围是T的null space的annihilator
定理 设V和W为域F上的有限维向量空间，设 $ \mathbb{B} $ 为V上有序基及 $ \mathbb{B}^{ * } $ 为dual basis，设 $ \mathbb{B}’ $ 为W的有序基，及 $ \mathbb{B}’^{*} $ 为dual basis，设T为从V到W上的线性变换，A是关于 $ \mathbb{B}, \mathbb{B}’ $ 的T的矩阵，B为关于 $ \mathbb{B}’^{ * }, \mathbb{B}^{ * } $ 的 $ T^{t} $ 的矩阵，则 $ B_ {i j} = A_ {j i} $
证明：设
$ \begin{equation} \mathbb{B} = \{ \alpha_ {1}, \ldots, \alpha_ {n} \}, \qquad \mathbb{B}’ = \{ \beta_ {1}, \ldots, \beta_ {m} \}, \end{equation} $
$ \begin{equation} \mathbb{B}^{ * } = \{ f_ {1}, \ldots, f_ {n} \}, \qquad \mathbb{B}’^{ * } = \{ g_ {1}, \ldots, g_ {m} \} \end{equation} $
根据定义，
$ \begin{equation} T \alpha_ {j} = \sum_ {i=1}^{m}A_ {i j}\beta_ {i}, \qquad j = 1, \ldots, n \end{equation} $
$ \begin{equation} T^{t}g_ {j} = \sum_ {i=1}^{n}B_ {i j}f_ {i}, \qquad j = 1, \ldots, m \end{equation} $
另一方面，
$ \begin{eqnarray} \left( T^{t} g_ {j} \right) \left( \alpha_ {i} \right) & = & g_ {j} \left(T \alpha_ {i} \right) \nonumber \
& = & g_ {j} \left( \sum_ {k = i}^{m}A_ {k i}\beta_ {k} \right) \nonumber \
& = & \sum_ {k=1}^{m}A_ {k i}g_ {j}\left( \beta_ {k} \right) \nonumber \
& = & \sum_ {k=1}^{m}A_ {k i}\delta_ {j k} \nonumber \
& = & A_ {j i} \end{eqnarray} $
对任意V上的linear functional f 有
$ \begin{equation} f = \sum_ {i=1}^{m}f\left(\alpha_ {i} \right)f_ {i} \end{equation} $
如果我们应用该式到functional $ f = T^{t}g_ {j} $ 且 $ \left(T^{t}g_ {j}\right)\left( \alpha_ {i} \right) = A_ {j i} $，我们有
$ \begin{equation} T^{t}g_ {j} = \sum_ {i=1}^{n}A_ {j i}f_ {i} \end{equation} $
则可得到 $ B_ {i j} = A_ {j i} $
定义 如果A为域F上的m x n矩阵，则transpose of A为n x m矩阵 $ A^{t} $ ，使得 $ A_ {i j}^{t} = A_ {j i} $