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Vocabulaire
Espaces topologiques
Soit E un ensemble. Une topologie sur E est un ensemble $ \mathscr{O} $ de parties de E tel que
(1) toute intersection finie d’éléments de $ \mathscr{O} $ appartient à $ \mathscr{O} $
(2) toute union d’éléments de $ \mathscr{O} $ appartient à $ \mathscr{O} $
Espaces métriques
Soit E un ensemble. Une distance sur E est une application $ d: E \times E \rightarrow[0,+\infty[ $ telle que, pour tous x,y,z dans E,
(1) (annulation sur la diagonale) d(x,x) = 0
(2) (séparation) si d(x,y) = 0, alors x = y
(3) (symétrie) d(x,y) = d(y,x)
(4) (inégalité triangulaire) d(x,y)<=d(x,z) + d(z,y)
Si d est une distance sur E, alors
$ \begin{equation} d(x,y) \geq | d(x,z) - d(z,y) | \end{equation} $
pour tous x,y,z dans E (cette inégalité s’appelle l’inégalité triangulaire inverse)
Une application f: X -> Y entre deux espaces métriques est isométrique si
$ \begin{equation} \forall x, y \in X, \quad d(f(x), f(y))=d(x, y) \end{equation} $
Soit (X, d) un espace métrique.
Soient $ x \in X $ et r > 0. La boule ouverte de centre x et rayon r est
$ \begin{equation} B(x, r) = \{ y \in X : d(x,y) < r\} \end{equation} $
La boule fermée de centre x et de rayon r est
$ \begin{equation} \bar{B}(x, r)=\{y \in X: d(x, y) \leq r\} \end{equation} $
La sphére de centre x et de rayon r est
$ S(x, r) = \{y \in X : d(x, y) = r\} $
Lorsque l’on veut préciser la distance, on pourra la mettre en indice, et noter $ B_ {d}(x, r), \bar{B}_ {d}(x,r), S_ {d}(x, r) $
Topologie induite par une distance L’ensemble $ \mathscr{O} $ des parties U de X telles aue
$ \begin{equation} \forall x \in U, \exists \epsilon > 0, \quad B\left( x, \epsilon \right) \subset U \end{equation} $
est une topologie sur X, appelée topologie induite par la distance d. Sauf mention contraire, tout espace métrique sera muni de la topologie induite par sa distance
La preuve que $ \mathscr{O} $ est bien une topologie est la même que celle pour les distances induites par des normes. En effet, soit $\left( U_ {i} \right)_ {i \in I} $ une famille d’éléments de $ \mathscr{O} $ . Si I est fini et $ x \in \cap_ {i \in I}U_ {i} $ , soit $ \epsilon_ {i} > 0 $ tel que $ B \left( x, \epsilon_ {i} \right) \subset U_ {i} $ ; alors $ \epsilon = inf_ {i \in I} \epsilon_ {i} > 0 $ et $ B \left( x, \epsilon \right) \subset \cap_ {i \in I}U_ {i} $ . Si $ x \in \cup_ {i \in I}U_ {i} $ , soit $ i_ {0} \in I $ tel que $ x \in U_ {i_ {0}} $ , et $ \epsilon > 0 $ tel que $ B \left( x, \epsilon \right) \subset U_ {i_ {0}} $ ; alors $ B \left( x, \epsilon \right) \subset \cup_ {i \in I}U_ {i} $
Ci-dessous, nous dessinons les boules unités, pour n = 2 et diverse valeurs de p dans $ [1, +\infty] $, des normes (équivalentes)
$ \begin{equation} | | \left(x_ {1}, \ldots, x_ {n}\right) | |_ {p} = \left( \sum_ {i=1}^{n}| x_ {i} |^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \end{equation} $
sur l’espace vectoriel $ \mathbb{R}^{n} $, où par convention,
$ \begin{equation} | | \left( x_ {1}, \ldots, x_ {n}\right) | |_ {\infty} = max_ {1 \leq i \leq n} | x_ {i} | \end{equation} $