Table of Contents

1. Vector Spaces

Vector Spaces

定义：一个向量空间（或线性空间）包含如下：

1. 一个域F的标量
2. 一个对象集合V，称为向量
3. 一个规则（或操作），称为向量加法，对于每一对V中的向量 $ α, β $ ，向量 $ α + β $ 也在V中，有：
   1. 加法可交换， $ \alpha + \beta = \beta + \alpha $
   2. 加法可结合， $ \alpha + ( \beta + \gamma ) = ( \alpha + \beta ) + \gamma $
   3. V中有一个向量0，称为零向量，对任意 $ \alpha \in V, \alpha + 0 = \alpha $
   4. 对任意向量 $ \alpha, \text{存在唯一一个向量} - \alpha \in V, \alpha + (-\alpha) = 0 $
4. 一个规则（或操作）称为标量乘法，对于每个标量c和向量 $ \alpha \in V $ ，称为c 和 $ \alpha $ 的乘积：
   1. 对任意 $ \alpha \in V, 1 \alpha = \alpha $
   2. $ ( c_{1} c_{2} ) \alpha = c_{1} (c_{2} \alpha) $
   3. $ c (\alpha + \beta) = c \alpha + c \beta $
   4. $ (c_{1} + c_{2}) \alpha = c_{1} \alpha + c_{2} \alpha $