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代数结构
简介
定义：设M为一个集合及一个操作o，N为集合及一个操作*，代数结构(M, o)和(N, *)为同构仅当存在一个双射f: M -> N，使得对任意 $ a, b \in M, f(a \circ b)=f(a) * f(b) $ 。我们把它记做 $ (M, \circ) \simeq(N, *) $ ，映射f称为(M, o)和(N, *)之间的同构。
阿贝尔群
定义：加法阿贝尔群为集合A及一个加法有如下属性：
(i) 对任意 $ a, b \in A, a + b = b + a $
(ii) 对任意 $ a, b, c \in A, (a + b) + c = a + (b + c) $
(iii) 存在一个元素 $ 0 \in A $ 使得对任意 $ a \in A, a + 0 = a $
(iv) 对任意元素 $ a \in A $ ，存在一个元素 $ -a \in A $ ，使得 $ a + (-a) = 0 $
定义乘法阿贝尔群为一个集合A及一个乘法有如下属性：
(i) 对任意 $ a, b \in A, ab = ba $
(ii) 对任意 $ a, b, c \in A, (ab)c = a(bc) $
(iii) 存在一个元素 $ e \in A $ 使得对任意 $ a \in A, ae = a $
(iv) 对任意元素 $ a \in A $ ，存在一个元素 $ a^{-1} \in A $ ，使得 $ a a^{-1} = e $
环和域
定义：环为一个集合K及一个加法和乘法有如下属性：
(i) K为加法上的阿贝尔群
(ii) 对任意 $ a, b, c \in K \text{有} a(b+c) = ab + ac \text{和} (a + b)c = ac + bc $
定义：域为可交换结合的环，对每一个非0元素都可逆。
子群，子环和子域
定义：阿贝尔群A的一个子集合B被称为子群仅当：
(i) B对于加法是闭的
(ii) $ a \in B \Longrightarrow -a \in B $
(iii) $ 0 \in B $
定义：环K的一个子集合L被称为子环仅当：
(i) L是环K的加法群的子群
(ii) L对于乘法是闭的
定义：域K的一个子集合L被称为子域仅当
(i) L是K的一个子环
(ii) $ a \in L, a \neq 0 \Longrightarrow a^{-1} \in L $
(iii) $ 1 \in L $
余类的环
考虑一个集合M，任何子集 $ R \subset M \times M $ 被称为集合M上的一个关系。如果 $ (a, b) \in R $ ，我们说a和b相关并记为aRb
一个相等关系R为一个关系，有：
(i) 自反性：aRa
(ii) 对称性：$ a R b \Longrightarrow b R a $
(iii) 传递性：$ a R b \text{且} b R c \Longrightarrow a R c $
相等关系通常记为 $ a \stackrel{R}{\sim} b $ 或 a ~ b
设R为集合M上的一个相等关系，对任意 $ a \in M $ ，有 $ \begin{equation} R(a)=\{b \in M: a \stackrel{R}{\sim} b\} \end{equation} $
相等关系的属性意味着 $ \begin{equation} R(a) \cap R(b) \neq \varnothing \quad \Longrightarrow \quad R(a)=R(b) \end{equation} $
关系R下的相等类集合被称为关系R下的M的商集，并记为M / R。映射
$ \begin{equation} M \rightarrow M / R, \quad a \mapsto R(a) \end{equation} $
被称为商映射
现在我们定义余类的环，考虑如下等价关系，在集合上称为模n：如果a - b能被n整除或如果a和b被n除后有相同的余数，记为 $ a \equiv b(\bmod n) $
设 $ \begin{equation} a \equiv a^{\prime}(\bmod n), \quad b \equiv b^{\prime}(\bmod n) \end{equation} $
则 $ \begin{equation} a+b \equiv a^{\prime}+b \equiv a^{\prime}+b^{\prime}(\bmod n) \end{equation} $
及 $ \begin{equation} a b \equiv a^{\prime} b \equiv a^{\prime} b^{\prime}(\bmod n) \end{equation} $
因此，我们定义集合Zn 上加法和乘法操作：
$ \begin{equation} [a]_ {n} + [b]_ {n} = [a+b]_ {n}, \quad[a]_ {n}[b]_ {n} = [a b]_ {n} \end{equation} $
这样Zn 变成带单位元的交换结合环，它被称为模n的余类的环（或余环）
定理：环Zn 为域当且仅当n为一个质数
Example 1.52. Let us solve the quadratic equation x2 + x + 1 = 0 in the field Z11 . The standard formules yields
$ \begin{equation} x_ {1,2}=\frac{[-1] \pm \sqrt{[5]}}{[2]} \end{equation} $
Since [5] = [16] = [4]2 , we can assume that $ \sqrt{[5]}=[4] $ (one of the values of the square root). Hence,
$ \begin{equation} x_ {1}=\frac{[-1]+[4]}{[2]}=\frac{[3]}{[2]}=\frac{[14]}{[2]}=[7], \quad x_ {2}=\frac{[-1]-[4]}{[2]}=\frac{[-5]}{[2]}=\frac{[6]}{[2]}=[3] \end{equation} $
向量空间
定义：域K上的向量（线性）空间为一个集合V及域上元素的加法和乘法操作，有如下属性：
(i) V是一个加法上的阿贝尔群
(ii) $ \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b \text { for any } \lambda \in K, a, b \in V $
(iii) $ (\lambda+\mu) a=\lambda a+\mu a \text { for any } \lambda, \mu \in K, a \in V $
(iv) $ (\lambda \mu) a=\lambda(\mu a) \text { for any } \lambda, \mu \in K, a \in V $
(v) $ 1 a=a \text { for any } a \in V $
定义：一个向量空间V的子集U称为子空间，如果
(i) U为V加法群的一个子群
(ii) $ a \in U \Longrightarrow \lambda a \in U \quad \text{for any } \quad \lambda \in K $
定义：域K上的向量空间V和U被称为同构如果存在一个双射
$ \begin{equation} \varphi: V \rightarrow U \end{equation} $
有
(i) $ \varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b) \quad \text{for any} \quad a, b \in V $
(ii) $ \varphi(\lambda a) = \lambda \varphi(a) \quad \text{for any} \quad \lambda \in K, a \in V $
映射 $ \varphi $ 被称为V和U之间的同构关系
Algebras
定义 一个algebra是域K上的集合及加法、乘法操作，K上元素的乘法有如下属性：
(i) A是一个向量空间及有域上元素的加法和乘法
(ii) A是加法和乘法的环
(iii) $ \forall \lambda \in K, \, a, b \in A, \quad \left( \lambda a \right) b = a \left( \lambda b \right) = \lambda \left(ab\right) $