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Functions on Euclidean Space
NORM和INNER PRODUCT
在向量空间定义向量x的长度，我们通常记为norm |x|，$ |x|=\sqrt{\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots+\left(x^{n}\right)^{2}} $
向量x和y的inner product记为<x,y>, $ \langle x, y\rangle=\frac{|x+y|^{2}-|x-y|^{2}}{4} $
SUBSETS OF EUCLIDEAN SPACE
一个集合A被称为是紧的，仅当每个开覆盖 $ \Theta $ 包含有限个开集合能覆盖A。
FUNCTIONS AND CONTINUITY
定理：如果 $ f: A \rightarrow \mathbf{R}^{m} $ 连续，$ A \subset \mathbf{R}^{n} $ 且 A是紧的，则 $ f(A) \subset \mathbf{R}^{m} $ 也是紧的。
如果 $ f: A \rightarrow \mathbf{R}^{m} $ 有界，$ a \in A $ ，$ \delta>0 $ ，有 $ \begin{equation} \begin{aligned} M(a, f, \delta) &=\sup \{f(x): x \in A \text { and }|x-a|<\delta\} \\ m(a, f, \delta) &=\inf \{f(x): x \in A \text { and }|x-a|<\delta\} \end{aligned} \end{equation} $
在a点的震荡函数o(f, a)定义为 $ o(f, a) = \lim _{\delta \rightarrow 0}[M(a, f, \delta)-m(a, f, \delta)] $
定理：有界函数f在a点连续当且仅当o(f, a) = 0